江苏省南京市五校2020-2021学年高二上学期数学10月联合调研考试试卷

试卷更新日期：2021-08-04 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知 $\tan α = - \frac{3}{4}$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、7 C、 $- \frac{1}{7}$ D、-7

查看试题解析
2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{2}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{9} x$ C、 $y = \pm \frac{9}{4} x$ D、 $y = \pm \frac{3}{2} x$

查看试题解析
3. 椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为 $x = - 4$ ，则该椭圆的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

查看试题解析
4. 以(3，-1)为圆心，并且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ C、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$

查看试题解析
5. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 cos 2 α - 8 cos α = 5$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{9}$

查看试题解析
6. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（）

A、4.25米 B、4.5米 C、3.9米 D、4.05米

查看试题解析
7. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点 $F_{1} ， F_{2}$ 的椭圆Γ与双曲线 $Γ^{'}$ 构成，现一光线从左焦点 $F_{1}$ 发出，依次经过 $Γ^{'}$ 与Γ反射，又回到了点 $F_{1} ，$ 历时 $t_{1}$ 秒；若将装置中的 $Γ^{'}$ 去掉，此光线从点 $F_{1}$ 发出，经Γ两次反射后又回到了点 $F_{1} ，$ 历时 $t_{2}$ 秒；若 $t_{2} = 6 t_{1} ，$ 则Γ与 $Γ^{'}$ 的离心率之比为（）

A、 $1 ： \sqrt{2}$ B、1：2 C、2：3 D、3：4

查看试题解析

二、多选题

8. 如图所示，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，若 $A B = B C$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B_{1}$ 、 $B C_{1}$ 的中点，则下列结论中成立的是（）

A、 $E F$ 与 $B B_{1}$ 垂直 B、 $E F ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ C、 $E F$ 与 $C_{1} D$ 所成的角为 $45 °$ D、 $E F //$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$

查看试题解析
9. 下列判断正确的是（）

A、当 $m = 3$ 时，直线 $l_{1} ： x + m y - 1 = 0$ 与 $l_{2} ： (m - 2) x + 3 y + 3 = 0$ 平行 B、当 $m = - \frac{1}{2}$ 时，直线 $l_{1} ： x + m y - 1 = 0$ 与 $l_{2} ： (m - 2) x + 3 y = 0$ 垂直 C、当 $m = 4$ 时，曲线 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与曲线 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + m = 0$ 外切 D、当 $m = - 5$ 时，曲线 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与曲线 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + m = 0$ 内切

查看试题解析
10. 下列判断正确的是（）

A、抛物线 $y^{2} = x$ 与直线 $x + y - \sqrt{2} = 0$ 仅有一个公共点 B、双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 与直线 $x + y - \sqrt{2} = 0$ 仅有一个公共点 C、若方程 $\frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆，则 $\frac{5}{2} < t < 4$ D、若方程 $\frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4

查看试题解析
11. 如图，在三棱锥C-ABD中，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，直线OC与底面ABD所成角的大小为60°，以下结论正确的是（）

A、AC⊥BD B、△AOC为正三角形 C、 $\cos ∠ A D C = \frac{\sqrt{3}}{4}$ D、四面体ABCD外接球的体积为 $\frac{64 \sqrt{2}}{3} π$

查看试题解析
12. 如图，△ABC的三个内角A ， B ， C对应的三条边长分别是a ， b ， c ， ∠ABC为钝角，BD⊥AB ， $c o s 2 ∠ A B C = - \frac{7}{25}$ ，c=2， $b = \frac{8 \sqrt{5}}{5} ，$ 则下列结论正确的有（）

A、 $\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、BD=2 C、 $5 \vec{C D} = 3 \vec{D A}$ D、△CBD的面积为 $\frac{4}{5}$

查看试题解析

三、填空题

13. 设F为抛物线C： $y^{2} = 6 x$ 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A ， B两点，则线段AB的中点到x轴的距离为.

查看试题解析
14. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ，$ 右顶点为A ，上顶点为B ，已知， $A B = \frac{\sqrt{3}}{2} F_{1} F_{2} ，$ 椭圆的离心率为.

查看试题解析
15. 如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为 $θ$ ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为 $2 θ$ ，再由D向塔前进 $10 \sqrt{3}$ 米后到点E后，测得塔顶的仰角为 $4 θ$ ，则塔高为米．

查看试题解析
16. 已知体积为 $4 \sqrt{3}$ 的三棱锥O-ABC的顶点A ， B ， C都在球O的表面上，且 $A B = 6 ， B C = 2 \sqrt{3} ， A C = 4 \sqrt{3} ，$ 则球O的半径是；异面直线OA与BC所成角的余弦值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 在△ABC中，已知内角A ， B ， C对应的三条边长分别是a ， b ， c ，若 $b c o s C + c c o s B = 4 ， B = \frac{π}{4}$ 请在下列条件：① $(a + b + c) (\sin A + \sin B - \sin C) = 3 a \sin B$ ；② $b = 4 \sqrt{2}$ ；③ $\sqrt{3} c \sin B = b \cos C$ 中任意选择一个，添加到题目的条件中，求△ABC的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.

查看试题解析
18. 2020年9月下旬，中国海军为应对台湾海峡的局势，派出3艘舰艇在台湾附近某海域进行实弹演习.某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如下图A ， B ， C ，且OA=OB=OC=3，假想敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 $\frac{4}{v_{0}}$ (注：信号传播速度为 $v_{0}) ，$ C处舰艇保持静默.

(1)、建立适当的坐标系，并求假想敌舰所有可能出现的位置的轨迹方程；

(2)、在A ， B两处舰艇对假想敌舰攻击后，C处敌舰派出无人机到假想敌舰处观察攻击效果，则无人机飞行的距离最少是多少？

查看试题解析
19. 已知直线l与圆C：x²+y²+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．

(1)、若圆C的半径为 $\sqrt{3}$ ，求实数a的值；

(2)、若弦AB的长为6，求实数a的值；

(3)、当a=1时，圆O：x²+y²=2与圆C交于M，N两点，求弦MN的长．

查看试题解析
20. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2，1)，P是动点，且 $k_{O P} + k_{O A} = k_{P A} .$

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、过A作斜率为1的直线与轨迹C相交于点B ，点T(0，t)(t>0)，直线AT与BT分别交轨迹C于点 $A_{1} B_{1} ，$ 设直线 $A_{1} B_{1}$ 的斜率为k ，是否存在常数λ ，使得t=λk ，若存在，求出λ值，若不存在，请说明理由.

查看试题解析
21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD ， BC $//$ AD ， AB⊥BC ， PA=AB= $\sqrt{2} ，$ AD=2BC=2，M是PD的中点.

(1)、求证：CM $//$ 平面PAB；

(2)、求三棱锥P-ACM的体积；

(3)、求二面角M-AC-D的余弦值.

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长轴是短轴的 $\sqrt{2}$ 倍，点(2，1)在椭圆C上.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线l与圆O： $x^{2} + y^{2} = 2$ 相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P ， Q两点.
①求证：以PQ为直径的圆经过原点O；

②若△OPQ的面积为 $\frac{6 \sqrt{3}}{5} ，$ 求直线l的方程.

查看试题解析