安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期理数冬季联赛试卷

试卷更新日期：2021-08-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 正确表示图中阴影部分的是（）

A、 $∁_{U} A \cup B$ B、 $∁_{U} A \cup ∁_{U} B$ C、 $∁_{U} (A \cup B)$ D、 $∁_{U} (A \cap B)$

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2. 命题“所有的二次函数图象都是轴对称图形”的否定是（）

A、所有的轴对称图形都不是二次函数图象 B、所有的二次函数图象都不是轴对称图形 C、有些轴对称图形不是二次函数图象 D、有些二次函数图象不是轴对称图形

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3. 已知集合 $A = {\frac{1}{2} ， \frac{1}{5} ， 1}$ 与 $B = {\frac{1}{2} ， 2 ， 5}$ ，现分别从集合 $A$ ， $B$ 中各任取一数 $a$ ， $b$ ，则 $\lg a + 1g b$ 为整数的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{4}{9}$

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4. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可以为（）

A、 $f (x) = - \tan x$ B、 $f (x) = \frac{1}{x} - x^{3}$ C、 $f (x) = \frac{1}{\sin x}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - x^{2}$

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5. 四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} + 2 \vec{C D} = \vec{0}$ ，设 $B C$ 的中点为 $M$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则向量 $\vec{D M} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \vec{b}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b}$

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6. “ $φ = \frac{π}{3} + 2 k π (k \in Z)$ ”是“函数 $f (x) = \sin (\frac{x}{2} + φ)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{3}$ 对称”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 某几何体由若干大小相同的正方体组合而成，其三视图均为如图所示的图形，设该几何体的表面积为 $x$ ，其外接球的表面积为 $y$ ，则 $\frac{y}{π x}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{16}$ C、 $\frac{11}{30}$ D、 $\frac{11}{32}$

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8. 卢卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.卢卡斯数列就是以他的名字命名，卢卡斯数列为：1、3、4、5、11、18、29、47、76、123、…，即 $L_{1} = 1$ ， $L_{2} = 3$ ，且 $L_{n + 2} = L_{n + 1} + L_{n} (n \in N^{*})$ .则卢卡斯数列 ${L_{n}}$ 的第2020项除以4的余数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 某圆台的侧面积是上、下两底面积之差绝对值的2倍，则其母线与底面的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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10. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 为线段 $A_{1} B$ 上的两个不同的点（包括端点）， $P$ ， $Q$ 为线段 $C C_{1}$ 上的两个不同的点（包括端点），则下列结论正确的是（）

A、直线 $M P$ 与 $N Q$ 可能平行 B、直线 $M Q$ 与 $N P$ 可能相交 C、直线 $M P$ 可能垂直于面 $A D D_{1} A_{1}$ D、直线 $N Q$ 可能平行于面 $A D D_{1} A_{1}$

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左焦点，点 $A$ 在椭圆 $C$ 上，点 $B (- 2 ， 1)$ ，线段 $O B$ 与 $A F$ 交于点 $M$ ，若 $M$ 为 $A F$ 的中点，则 $\cos ∠ F B A$ 的值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、无法确定

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x + 1}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 与 $g (x) = k x + 1$ ，若函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 有 $n$ 个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + \dots x_{n}$ 的值为（）

A、0 B、1 C、 $n$ D、 $2 n$

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二、填空题

13. 若x ， y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 3 x + y \geq 0 \\ 2 x - y - 4 \leq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 5 y$ 的最小值为.

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14. 已知点 $A (0 ， 1)$ ， $B (2 ， - 1)$ ，动点 $P (x ， y)$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = λ$ 为定值，若 $P$ 的轨迹表示一个圆，则实数 $λ$ 的取值范围为．

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15. 已知 $△ A B C$ 中， $\tan A$ ， $\sin B$ ， $\cos B$ 成公比为 $\frac{4}{3}$ 的等比数列，则 $\tan C$ 的值为.

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16. 已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长均为 $6$ ，过 $D$ 作平面 $α$ 使得 $B C // α$ ，且棱 $A B$ ， $A C$ 分别与平面 $α$ 交于点 $E$ ， $F$ ，若异面直线 $D E$ ， $B C$ 所成角的正切值为 $3 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $D - A E F$ 的体积为．

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三、解答题

17. 某市为促进青少年运动，从2010年开始新建篮球场，某调查机构统计得到如下数据.

年份x	2014	2015	2016	2017	2018
篮球场个数y/百个	0.30	0.60	1.00	1.40	$y_{5}$

(1)、根据表中数据求得y关于x的线性回归方程为

\hat{y} = 0.36 x + \hat{a}

，求表中数据

y_{5}

.并求出线性回归方程；

(2)、预测该市2020年篮球场的个数（精确到个）.

附：可能用到的数据与公式： $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} = 10080$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} - 5 {\bar{x}}^{2} = 10$ ， $\sum_{i = 1}^{4} x_{i} y_{i} = 6653$ ， $\sum_{i = 1}^{4} y_{i} = 3.30$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .点 $(n ， S_{n})$ 在函数 $y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2}$ 的图象上.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${{(- 1)}^{n} \cdot a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $P$ ， $P A \cdot \sin ∠ B A C = P C \cdot \sin ∠ A C B$ ， $∠ B C D = 60 °$ ， $B C = 3 C D = 3$ ．

(1)、求 $∠ A B D$ 的正弦值；

(2)、若 $∠ B A D = 120 °$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积

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20. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $M$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $M B ⊥ A C$ ；

(2)、若二面角 $B - M A - C$ 的大小为 $45 °$ ，求 $P A$ 的长.

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21. 本季度，全球某手机公司生产某种手机，由以往经验表明，不考虑其他因素，该手机全球每日的销售量y（单位：万台）与销售单价x（单位：千元/台， $4 < x \leq 8$ ），当 $4 < x \leq 6$ 时，满足关系式 $y = m (x - 6) + \frac{n}{x - 4}$ （m ， n为常数），当 $6 < x \leq 8$ 时，满足关系式 $y = - 20 x + 200$ .已知当销售价格为5千元/台时，全球每日可售出该手机70万台，当销售价格定为6千元/台时，全球每日可售出该手机80万台.

(1)、求m ， n的值，并求出该手机公司每日销售量的最小值；

(2)、若该手机的成本为4000元/台，试确定销售价格x为何值时，该手机公司每日销售手机所获利润最大.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ）的右焦点为 $F$ ，动直线 $l$ 经过 $F$ 且与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、若直线 $l ⊥ x$ 轴时 $| A B | = 1$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若存在直线 $l$ 使得 $∠ A O B$ 为锐角，求椭圆 $C$ 的离心率 $e$ 的取值范围．

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