安徽省名校联盟2020-2021学年高二上学期理数12月联考试卷

试卷更新日期：2021-08-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题 $p ： \exists x_{0} > 0$ ， $12 x_{0}^{2} + 32 x_{0} - 44 < 0$ 的否定是（）

A、 $\exists x_{0} > 0$ ， $12 x_{0}^{2} + 32 x_{0} - 44 \geq 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $12 x^{2} + 32 x - 44 \geq 0$ C、 $\forall x \leq 0$ ， $12 x^{2} + 32 x - 44 \geq 0$ D、 $\exists x_{0} \leq 0$ ， $12 x_{0}^{2} + 32 x_{0} - 44 \geq 0$

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2. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $\cos B = \frac{4}{5}$ ， $C = \frac{π}{4}$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、5

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3. “ $x \leq 3$ ”是“ $x^{2} - 7 x + 12 \geq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为其前n项和，若 $a_{3} + a_{9} = 10$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、110 B、65 C、55 D、45

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，若线段 $O F$ 的垂直平分线与抛物线 $C$ 的一个交点为 $M$ ，且 $| M F | = 3$ ，则 $p =$ （）

A、2 B、4 C、5 D、8

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6. 在底面是正方形的四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB＝1，AA₁＝2，∠A₁AD＝∠A₁AB $= \frac{π}{3}$ ，则| $\vec{A C_{1}}$ |＝（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

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7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} S_{4} = a_{4} S_{2}$ ，则 $\frac{a_{2020}}{a_{2}} =$ （）

A、2019 B、-1 C、1 D、-2019

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8. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的两个焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线上一点P到 $F_{1}$ 的距离是7，则P到 $F_{2}$ 的距离是（）

A、13 B、1 C、1或13 D、2或14

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9. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若D是棱 $A A_{1}$ 的中点， $A A_{1} = A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，则直线CD与直线 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{14}$ B、 $\frac{\sqrt{35}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c \in R$ 则下列结论正确的是（    ）
①若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ ；    ②若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$ ；

③若 $a > b$ ， $c \geq 0$ ，则 $c^{a} > c^{b}$ ；    ④若 $a + b = 1$ ，则 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ ．

A、①②③ B、①③④ C、②③ D、②④

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11. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过F的直线与该抛物线交于不同的两点M、N，若 $M N = 3 p$ ，则线段MN的中点与原点连线的斜率为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\pm 1$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，双曲线的左支上有 $A$ 、 $B$ 两点使得 $\vec{A F_{1}} = 2 \vec{F_{1} B}$ .若 $△ A F_{1} F_{2}$ 的周长与 $△ B F_{1} F_{2}$ 的周长之比是 $\frac{5}{4}$ ，则双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2$ D、 $\frac{13}{9}$

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二、填空题

13. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x - y \geq 0 \\ 2 x - y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最大值为．

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14. 若直线 $l$ 的一方向向量与平面 $α$ 的一个法向量的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成的角为．

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15. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b = 6$ ， $c = 9$ ， $A = 2 B$ ，则 $\sin A =$ ．

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16. 已知直线 $l ： x - y + 1 = 0$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 交于 $A ， B$ 两点，若椭圆上存在一点 $P$ 使得 $Δ P A B$ 面积最大，则点 $P$ 的坐标为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $(b \cos C + c \cos B) \cos C = \sqrt{3} c \sin A$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为8， $a = 4$ ，求b的值．

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列， $a_{3} = 5$ ， $a_{1}$ ， $a_{6} - a_{4}$ ， $a_{8} + a_{1}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ，并证明 $S_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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19. 已知 $c > 0$ ，p：函数 $y = \log_{2 c} x$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，q：不等式 $(1 - \frac{3}{4} c) x^{2} + c x + 1 > 0$ 的解集是R．若 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，求c的取值范围．

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20. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，直线 $l ： y = 2 x - 3$ 与E相交于A，B两点，且 $| A F | + | B F | = 9$ ．直线 $m / / l$ ，与 $E$ 相交于C，D两点，与 $y$ 轴交于点P．

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、若 $C D = 3 D P$ ，求CD的长．

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21. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $E C ⊥$ 底面 $A B C D ， A B ⊥ B C ， A B / / C D ， A B = 1 ， C B = C D = C E = 3$

(1)、若 $F$ 在侧棱 $D E$ 上，且 $D F = 2 F E$ ，证明： $A F / /$ 平面 $B C E$ ；

(2)、求平面 $A D E$ 与平面 $B C E$ 所成锐二面角的余弦值

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{10} + y^{2} = 1$ 的右焦点为F，原点为O，椭圆C的动弦AB过焦点F且不垂直于坐标轴，弦AB的中点为N，过F且垂直于线段AB的直线交射线ON于点M.

(1)、证明：点M在定直线上；

(2)、当 $∠ O M F$ 最大时，求 $△ M A B$ 的面积.

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