安徽省江淮名校2020-2021学年高二上学期数学阶段诊断联考试卷

试卷更新日期：2021-08-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 从4名男生，2名女生中随机抽取3人，则下列事件中的必然事件是（）

A、至少有2名男生 B、至少有1名男生 C、3人都是男生 D、有2名女生

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2. 已知直线 $l ： y = \sqrt{3} x + 1$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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3. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c \in R$ ，则（）

A、 $a > b \Rightarrow a c^{2} > b c^{2}$ B、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \Rightarrow a > b$ C、 $a > b > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $a^{2} > b^{2} \Rightarrow a > b$

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4. 在锐角中 $Δ A B C$ ，角 $A, B$ 所对的边长分别为 $a, b$ .若 $2 a sin B = \sqrt{3} b, 则角 A 等于$ （）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 已知 $a > 0$ ，则 $a + \frac{4 - a}{a}$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 某公司为了研究广告投入对产品收益的影响，整理得到数据如下表：

广告投入 $x$ (万元)

1

2

3

4

5

产品收益 $y$ (万元)

2

3

2

5

7

由表中数据，得到回归方程 $\hat{y} = b x + 0.2$ ，则 $b$ 的值为（）

A、0.8 B、1 C、1.2 D、1.4

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7. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ，$ 且 $S_{3} = 6 ， a_{3} = 4 ，$ 则其公差d=（）

A、1 B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、3

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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9. 若圆 $O_{1}$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ 和圆 $O_{2}$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2}$ （ $0 < r < 5$ ）相切，则 $r$ 等于（）

A、 $5 - 2 \sqrt{2}$ B、 $5 - 2 \sqrt{3}$ C、 $5 - \sqrt{2}$ D、 $5 - \sqrt{3}$

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10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 0$ 且 $q \neq 1$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2} a_{3}$ 与 $S_{3} a_{2}$ 的大小关系为（）

A、 $S_{2} a_{3} > S_{3} a_{2}$ B、 $S_{2} a_{3} < S_{3} a_{2}$ C、 $S_{2} a_{3} = S_{3} a_{2}$ D、不能确定

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11. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $i$ 的值为13，则判断框内可以填（）

A、 $S < 1 ?$ B、 $S < 2.5 ?$ C、 $S < 3 ?$ D、 $S < 4$ ？

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12. 设锐角 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $A = \frac{π}{3} ， a = \sqrt{3}$ ，则 $b^{2}$ $+ c^{2} + b c$ 的取值范围为（）

A、(1，9] B、(3，9] C、(5，9] D、(7，9]

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二、填空题

13. 已知变量 $x$ 、 $y$ 满足线性约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x - y \leq 0 \\ x + y - 6 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值是.

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14. 某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有人.

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15. 已知直线 $m x - y - 2 m = 0$ 与函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{- x^{2} + 16} ， - 4 \leq x \leq 0 \\ 2 x - 2 ， x > 0 \end{array}$ 的图象有两个交点.则实数m的取值范围是.

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16. 在三棱锥 $A_{1} - A B C$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C ， B C ⊥ A_{1} B ， A A_{1} = A C = 2$ ，则该三棱锥的外接球的体积为.

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三、解答题

17. 有关部门要了解甲型 $H1N1$ 流感预防知识在学校的普及情况，特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查.某中学A ， B两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查.A班5名学生得分为：60，80，70，90，70；B班5名学生得分为：80，60，70，80，75(单位：分).请你估计A ， B两个班中哪个班的平均分高，哪个班问卷得分要稳定一些.

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18. 在 $Δ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 ${(a + b)}^{2} = c^{2} + 3 a b$ ．

(1)、求 $C$ 的值；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $c = \sqrt{7}$ ，求a、b的值．

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19. 某电视台为了了解某社区居民对某娱乐节目的收视情况，随机抽取了 $n$ 名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该娱乐节目时间的频率分布直方图：

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、根据统计结果，试估计观众观看该娱乐节目时间的中位数（结果保留一位小数）；

(3)、从观看时间在 $[15 ， 25)$ ， $[25 ， 35)$ 的人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人的观看时间都在 $[25 ， 35)$ 中的概率.

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20. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 和点 $M (1 ， a)$ .

(1)、若 $a = 3$ ，求过点M作圆O的切线的切线长；

(2)、若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程.

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21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = A A_{1} = 2$ ， $A C = \sqrt{5}$ ， $B C = 3$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $B_{1} C_{1}$ 、 $A A_{1}$ 的中点．

(1)、求证：平面 $A B C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求证： $M N / /$ 平面 $A B C_{1}$ ，并求 $M$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 6$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 3^{n + 1}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{a_{n}}{3^{n}}}$ 为等差数列；

(2)、求 $S_{n}$ ；

(3)、对任意 $m \in N^{*}$ 将数列 ${\frac{a_{n}}{3^{n}}}$ 中落入区间 $(3^{m}, 3^{2 m})$ 内的项的个数记为 $b_{m}$ ，求数列 ${b_{m}}$ 的前 $m$ 项和 $T_{m}$ .

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广告投入 $x$ (万元)	1	2	3	4	5
产品收益 $y$ (万元)	2	3	2	5	7