安徽省滁州市定远县重点中学2020-2021学年高二上学期理数10月月考试卷

试卷更新日期：2021-08-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知两点 $A (2 ， - 3)$ ， $B (- 3 ， - 2)$ ，直线l过点 $P (1 ， 1)$ 且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（）

A、 $- 4 \leq k \leq \frac{3}{4}$ B、 $k \leq - 4$ 或 $k \geq \frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{4} \leq k \leq 4$ D、 $- \frac{3}{4} \leq k \leq 4$

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2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
137
966
191
925
271
932
812
458
569
683
431
257
393
027
556
488
730
113
537
989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）

A、0.40 B、0.30 C、0.35 D、0.25

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3. 据全球权威票房网站Mojo数据统计，截至8月20日14时，《战狼2》国内累计票房50亿，截至目前，《战狼2》中国市场观影人次达1.4亿，这一数字也创造了全球影史“单一市场观影人次”的新记录，为了解《战狼2》观影人的年龄分布情况，某调查小组随机统计了100个此片的观影人的年龄(他们的年龄都在区间 $[10 ， 60]$ 内)，并绘制了如图所示的频率分布直方图，则由图可知，这100人年龄的中位数为（）

A、33 B、34 C、35 D、36

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4. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中 $x$ 的值是（　　）

A、2 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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5. 已知点 $P (x ， y)$ 是直线 $k x + y + 4 = 0 (k > 0)$ 上一动点， $P A$ ， $P B$ 是圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ 的两条切线， $A$ ， $B$ 是切点.若四边形 $P A C B$ 的最小面积是2，则 $k$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 $S$ 的值为（）

A、5 B、11 C、14 D、19

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7. 已知直线 $l$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 在点 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ 处的切线，点 $P$ 为直线 $l$ 上一动点，点 $Q$ 为圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 上一动点，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$ D、 $2 \sqrt{3} - 1$

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8. 设点 $P_{i} (x_{i} ， y_{i})$ 在直线 $l_{i} ： a_{i} x + b_{i} y = c_{i}$ 上，若 $i (a_{i} + b_{i}) = c_{i} (i = 1 ， 2)$ ，且 $| P_{1} P_{2} | \geq \sqrt{2}$ 恒成立，则 $c_{1} + c_{2}$ 的值（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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9. $α ， β$ 是两个平面， $m ， n$ 是两条直线，有下列四个命题：
①如果 $m ⊥ n ， m ⊥ α ， n / / β$ ，那么 $α ⊥ β$ .

②如果 $m ⊥ α ， n / / α$ ，那么 $m ⊥ n$ .

③如果 $α / / β ， m \subset α$ ，那么 $m / / β$ .

④如果 $m / / n ， α / / β$ ，那么 $m$ 与 $α$ 所成的角和 $n$ 与 $β$ 所成的角相等.

其中正确的命题为（）

A、②③④ B、①②④ C、①③④ D、①②④

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长为1， $E 、 F$ 分别为 $C_{1} D_{1}$ 与 $A B$ 的中点， $B_{1}$ 到平面 $A_{1} F C E$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$

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11. 某校高一年级有甲，乙，丙三位学生，他们前三次月考的物理成绩如表：

	第一次月考物理成绩	第二次月考物理成绩	第三次月考物理成绩
学生甲	80	85	90
学生乙	81	83	85
学生丙	90	86	82

则下列结论正确的是（　　）

A、甲，乙，丙第三次月考物理成绩的平均数为86 B、在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高 C、在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定 D、在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大

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12. 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+（股-勾）²=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾²+股²=弦² ，设勾股中勾股比为 $1 ： \sqrt{3}$ ，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414 ， \sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、866 B、500 C、300 D、134

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二、填空题

13. 如图所示， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是棱长为 $a$ 的正方体， $M ， N$ 分别是下底面的棱 $A_{1} B_{1} ， B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是上底面的棱 $A D$ 上的一点， $A P = \frac{a}{3}$ ，过 $P ， M ， N$ 的平面交上底面于 $P Q$ ， $Q$ 在 $C D$ 上，则 $P Q =$ .

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14. 已知线段 $P Q$ 两端点的坐标分别为 $P (- 1 ， 1)$ 和 $Q (2 ， 2)$ ，若直线 $l ： x + m y = 0$ 与线段 $P Q$ 有交点，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15. 已知一个 $k$ 进制的数 $132_{(k)}$ 与二进制的数 $11110_{(2)}$ 相等，那么 $k$ 等于．

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16. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 $40 %$ ．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
488 932 812 458 989 431 257 390 024 556

734 113 537 569 683 907 966 191 925 271

据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为.

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三、解答题

17. 已知直线 $l ： (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ ， $m \in R$ ，圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ .

(1)、证明：直线 $l$ 恒过一定点 $P$ ；

(2)、证明：直线 $l$ 与圆 $C$ 相交；

(3)、当直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短时，求 $m$ 的值.

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18. 为了解消费者购物情况，某购物中心在电脑小票中随机抽取 $n$ 张进行统计，将结果分成6组，分别是： $[0 ， 100) ， [100 ， 200) ， [200 ， 300) ， [300 ， 400)$ ， $[400 ， 500) ， [500 ， 600]$ ，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在 $[0 ， 600]$ 元的区间内）.

(1)、若在消费金额为 $[400 ， 600]$ 元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票来自 $[400 ， 500)$ 元和 $[500 ， 600)$ 元区间（两区间都有）的概率；

(2)、为做好春节期间的商场促销活动，商场设计了两种不同的促销方案.

方案一：全场商品打八五折.

方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由.

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19. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 $A D E - B C F$ 和一个正四棱锥 $P - A B C D$ 组合而成， $A D ⊥ A F$ ， $A E = A D = 2$ ．
（Ⅰ）证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B F E$ ；
（Ⅱ）求正四棱锥 $P - A B C D$ 的高 $h$ ，使得二面角 $C - A F - P$ 的余弦值是 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．

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20. 2015 年 12 月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为 2015 年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与

P M 2.5

的浓度是否相关，现采集到华中某城市 2015 年 12 月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与

P M 2.5

的数据如表：

时间	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期日
车流量 $x$ （万辆）	1	2	3	4	5	6	7
$P M 2.5$ 的浓度 $y$ （微克/立方米）	28	30	35	41	49	56	62

(1)、由散点图知

y

与

x

具有线性相关关系，求

y

关于

x

的线性回归方程；（提示数据：

\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 1372

）

(2)、利用(1)所求的回归方程，预测该市车流量为 12 万辆时

P M 2.5

的浓度.

参考公式：回归直线的方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，

其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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21. 已知直线 $m : (a - 1) x + (2 a + 3) y - a + 6 = 0$ ， $n : x - 2 y + 3 = 0$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，直线 $l$ 过 $m$ 与 $n$ 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若坐标原点 $O$ 到直线 $m$ 的距离为 $\sqrt{5}$ ，判断 $m$ 与 $n$ 的位置关系.

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22. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点， $A E ⊥ B D$ 于 $E$ （不同于点 $D$ ），延长AE交BC于F ，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥 $A_{1} - B C D$ ，如图2所示.

(1)、若M是FC的中点，求证：直线 $D M$ //平面 $A_{1} E F$ ；

(2)、求证：BD⊥ $A_{1} F$ ；

(3)、若平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，试判断直线 $A_{1} B$ 与直线CD能否垂直？并说明理由.

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137	966	191	925	271	932	812	458	569	683
431	257	393	027	556	488	730	113	537	989

137	966	191	925	271	932	812	458	569	683
431	257	393	027	556	488	730	113	537	989

137	966	191	925	271	932	812	458	569	683
431	257	393	027	556	488	730	113	537	989