河南省郑州市2020-2021学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-08-03 类型：期中考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（　　）

A、x²﹣1 B、x（x﹣2）+（2﹣x） C、x²﹣2x+1 D、x²+2x+1

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3. 一元一次不等式组 ${\begin{cases} x + 5 > 2 \\ 3 - x \geq 1 \end{cases}$ 的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 若关于x的分式方程 $\frac{a + 1}{x - 1}$ ﹣ $\frac{x}{1 - x}$ ＝0有增根，则a的值是（）

A、a＝﹣1 B、a＝1 C、a＝﹣2 D、a＝2

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5. 下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（）

A、两组对边分别平行 B、两组对边分别相等 C、对角线互相平分 D、对角线相等

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6. 若分式 $\frac{a (b - c) + b (c - b)}{a - c}$ 有意义且它的值为零，其中a、b、c为三角形的三条边，则此三角形一定为（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、各边都不相等的三角形 D、直角三角形

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7. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（）

A、 $\frac{3}{x}$ + $\frac{2}{x - 2}$ ＝1 B、 $\frac{3}{x}$ + $\frac{2}{x}$ + $\frac{2}{x - 2}$ ＝1 C、 $\frac{3 + 2}{x}$ + $\frac{2}{x - 2}$ ＝1 D、 $\frac{3}{x}$ +2（ $\frac{1}{x}$ + $\frac{2}{x - 2}$ ）＝1

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8. 如图，△ABC的面积为8cm² ， AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）

A、2cm² B、3cm² C、4cm² D、5cm²

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9. 如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的度数为（）

A、40° B、36° C、50° D、45°

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10. 如果关于x的分式方程 $\frac{x - a}{x - 2}$ ＝1+ $\frac{5 - 2 x}{x - 2}$ 有正整数解，且关于y的一元一次不等式组 ${\begin{cases} \frac{3 y - 3}{4} > y - 2 \\ y - a \leq 0 \end{cases}$ 的解集为y≤a，则所有满足条件的整数a的和为（）

A、8 B、7 C、3 D、2

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二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11. 若 $\frac{2 (x - 1)}{3 (x - 1)} = \frac{2}{3}$ 成立，则x的取值范围是.

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12. 已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a²+b²﹣6a﹣8b+25＝0，则这个等腰三角形的周长为 .

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13. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF.若四边形ACFD的面积等于 $6 \sqrt{3}$ ，则EC的长为.

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14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C.且B′恰好落在AB上，连接AA′，取AA′的中点D，连接B′D，则B′D的为.

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15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为.

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三、解答题（共7小题55分）

16.

(1)、解分式方程： $\frac{3}{x^{2} - x} + 1 = \frac{x}{x - 1}$ .

(2)、化简求值：（ $\frac{5}{a + 3}$ +a﹣3）÷ $\frac{a^{2} - 4 a + 4}{2 - a}$ ，a＝ $\sqrt{2}$ ﹣1.

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17.
图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）

(1)、求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；

(2)、在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）

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18. 已知：线段AB，BC.求作：平行四边形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业.
甲：

①以点C为圆心，AB长为半径作弧；

②以点A为圆心，BC长为半径作弧；

③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD.

四边形ABCD即为所求平行四边形.（如图1）

乙：

①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；

②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD.

四边形ABCD即为所求平行四边形.（如图2）

老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢__▲__的作法，他的作图依据是：_▲_.

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19. 对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b.反过来也成立.因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”.
请根据以上材料完成下面的题目：

(1)、已知：A＝2x²y+8y，B＝8xy，且A＞B，试判断y的符号；

(2)、已知：a、b、c为三角形的三边，比较a²+c²﹣b²和2ac的大小.

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20. 春节期间，根据习俗每家每户都会在门口挂红灯笼和贴对联，某商店看准了商机，准备购进一批红灯笼和对联进行销售，已知每副对联的进价比每个红灯笼的进价少10元，且购进对联50幅比购进红灯笼20个多花费40元.

(1)、对联和红灯笼的单价分别为多少？

(2)、由于销售火爆，第一批售完后，该商店以相同的进价再购进300副对联和200个红灯笼，已知对联的销售价格为12元一幅，红灯笼的销售价格为24元一个，销售一段时间后发现对联售出了总数的 $\frac{2}{3}$ ，红灯笼售出了总数的 $\frac{3}{4}$ ，为了清仓，该店老板决定对剩下的红灯笼和对联以相同的折扣数打折销售，并很快全部售出，问商店最低打几折，才能使总的利润率不低于20%？

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21. 阅读下面材料，并解答问题.
将分式 $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

解：由分母为x²﹣1，可设x⁴+x²﹣3＝（x²﹣1）（x²+a）+b.

则x⁴+x²﹣3＝（x²﹣1）（x²+a）+b＝x⁴﹣x²+ax²﹣a+b＝x⁴+（a﹣1）x²﹣a+b

∴ ${\begin{cases} a - 1 = 1 \\ - a + b = - 3 \end{cases}$ ，∴ ${\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases}$

∴ $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ ＝ $\frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2) - 1}{x^{2} - 1}$ ＝ $\frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2)}{x^{2} - 1}$ ﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$ ＝（x²+2）﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$

这样，分式 $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ 被拆分成了一个整式x²+2与一个分式﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$ 的和.

根据上述作法，将分式 $\frac{x^{4} + 6 x^{2} - 8}{x^{2} - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

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22. 如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝AF，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接EF，GE，CE.

(1)、【特例感知】
图1中GE与CE的数量关系是.

(2)、【结论探索】
如图2，将图1中的△AEF绕着点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），连接FD并延长到点G，使得DG＝DF，连接GE，CE，BE，此时GE与CE还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由.

(3)、【拓展应用】
在（2）的条件下，若AB＝5，AE＝3 $\sqrt{2}$ ，当△EFG是以EF为直角边的直角三角形时，请直接写出GE的长.

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