江苏省扬州市四校2021年数学中考二模联考试卷

试卷更新日期：2021-08-03 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中，最大的数是（）

A、 $- π$ B、 $- 3$ C、0 D、1

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2. 下列运算正确的是(　　)

A、 $3 a \times 2 a = 6 a$ B、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ C、 ${(\frac{1}{3} a^{3})}^{2} = \frac{1}{9} a^{9}$ D、 $- 3 (a - 1) = 3 - 3 a$

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3. 某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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4. 一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水机，两台抽水机同时工作直到抽干．设从开始工作的时间为 $t$ ，剩下的水量为 $s$ ．下面能反映 $s$ 与 $t$ 之间的关系的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图， $A B // C D ， ∠ B A E = 120 ° ， ∠ D C E = 30 °$ ，则 $∠ A E C =$ _______度.（）

A、70 B、150 C、90 D、100

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6.
如图，∠1的正切值为（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、3 D、2

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7. 将一个边长为4的正方形 $A B C D$ 分割成如图所示的9部分，其中 $△ A B E$ ， $△ B C F$ ， $△ CDG$ ， $△ D A H$ 全等， $△ A E H$ ， $△ B E F$ ， $△ C F G$ ， $△ D G H$ 也全等，中间小正方形 $E F G H$ 的面积与 $△ A B E$ 面积相等，且 $△ A B E$ 是以 $A B$ 为底的等腰三角形，则 $△ A E H$ 的面积为（）

A、2 B、 $\frac{16}{9}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，点C坐标为（﹣4，0），E为BC上靠近点C的三等分点，点B、E均在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＜0，x＜0）的图象上，若tan∠OAD＝ $\frac{1}{2}$ ，则k的值为（）

A、﹣2 B、﹣2 $\sqrt{5}$ C、﹣6 D、﹣4 $\sqrt{2}$

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二、填空题

9. 分解因式：6xy²﹣8x²y³＝.

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10. 如果10^m=12，10ⁿ=3，那么10^m+n=.

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11. 若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - 1 > 3 x + 2 \\ x < m \end{matrix}$ 的解集是x＜﹣3，则m的取值范围是.

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12. 人的血管首尾相连的长度大约可达96000千米，96000千米用科学记数法表示为米.

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13. 已知点 $A (a ， 2)$ ， $B (3 ， b)$ 关于 $y$ 轴对称，则 $a b =$ .

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14. 已知x﹣2y＝1，则代数式3x﹣6y+2020的值是.

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15. 用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半轻是.

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16. 已知二次函数y＝4x²﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为.

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17. 如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE的另一侧作正方形BEFG，连接CG，若AB＝12，BE＝13，则△BCG的面积为.

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18. 如图，抛物线y＝ $\frac{1}{2} x^{2}$ ﹣x﹣ $\frac{3}{2}$ 的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆AB上的一动点，连接EP，N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是.

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三、解答题

19.

(1)、计算： $| \sqrt{3} - 1 | + {(2021 - 1)}^{0} - {(- \frac{1}{3})}^{- 1} - 3 \tan 30 °$ .

(2)、解方程： $2 (x - 3) - (x + 3) (x - 3) = 0$ .

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20. 已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA，

(1)、求证：△BEC≌△DEA；

(2)、求证：BC⊥FD．

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21. 某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而相应调整，营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表：

	第一次	第二次	第三次
A产品单价（元/件）	6	5.2	6.5
B产品单价（元/件）	3.5	4	3

并求得了A产品三次单价的平均数和方差：

$\bar{x_{A}}$ ＝5.9；S_A²＝ $\frac{1}{3}$ [（6﹣5.9）²+（5.2﹣5.9）²+（6.5﹣5.9）²]＝ $\frac{43}{150}$

(1)、求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；

(2)、该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件，B产品的单价比3元/件上调m%（m＞0），使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1，求m的值.

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22. 甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责跑最后一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排.

(1)、请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序；

(2)、请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率.

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23. 有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成，已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．

(1)、求甲、乙两工程队每天各完成多少米?

(2)、如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可合作施工多少天?（注：工作天数取整数）

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24. 如图将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，

(1)、求证：△AME∽△BEC.

(2)、若△EMC∽△AME，求AB与BC的数量关系.

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25. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由 $45^{°}$ 改为 $30^{°}$ .已知原传送带 $A B$ 长为 $4 \sqrt{2} m$ .

(1)、求新传送带 $A C$ 的长度；

(2)、如果需要在货物着地点 $C$ 的左侧留出 $5 m$ 的通道，试判断距离 $B$ 点 $4 \sqrt{3} m$ 的货物 $M N Q P$ 是否需要挪走，并说明理由.

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26. 已知：点D是△ABC的边AC上一点，tanC＝1，cos∠ADB＝ $\frac{1}{2}$ ，⊙O经过B，C，D三点.

(1)、若BD＝4，求阴影部分图形的面积；

(2)、若AD＝2CD＝4，求证：AB为⊙O的切线.

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27. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数的图象，以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)、请求出这个二次函数的表达式；

(2)、因降暴雨水位上升1米，此时水面宽为多少？

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28. 请认真阅读下列材料：
如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义为射线 $O A$ 上一点 $A^{'}$ ，满足 $O A \times O A^{'} = r^{2}$ .

显然点A也是点 $A^{'}$ 的反演点.即点A与点 $A^{'}$ 互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径.这种从点A到点 $A^{'}$ 的变换或从点 $A^{'}$ 到点A的变换称为反演变换.

例如：如图②，在平面直角坐标系中，点 $A (6 ， 0)$ ，以点O为圆心， $A O$ 为半径的圆，交y轴的正半轴于点B；C为线段 $O A$ 的中点，P是 $\overset{⌢}{A B}$ 上任意一点，点D的坐标为 $(0 ， 5)$ ；若C关于 $⊙ O$ 的反演点分别为 $C^{'}$ .

（ 1 ）求点 $C^{'}$ 的坐标；

（ 2 ）连接 $D P$ 、 $P C$ ，求 $D P + 2 P C$ 的最小值.

解：（ 1 ）由反演变换的定义知： $O C \times O C^{'} = r^{2}$ ，其中 $O C = \frac{1}{2} O A = 3$ ， $r = 6$ .

∴ $O C^{'} = \frac{r^{2}}{O C} = \frac{6^{2}}{3} = 12$ ，故点 $C^{'}$ 的坐标为 $(12 ， 0)$ ；

（ 2 ）如图③，连接 $O P$ 、 $P C^{'}$ ，由反演变换知 $O C \times O C^{'} = r^{2} = O P^{2}$ ，

即 $\frac{O C}{O P} = \frac{O P}{O C^{'}}$ ，而 $∠ P O C = ∠ C^{'} O P$ ，

∴ $△ P O C ∽ △ C^{'} O P$ .

∴ $\frac{P C}{C^{'} P} = \frac{O P}{O C^{'}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ ，即 $2 P C = P C^{'}$ .

∴ $D P + 2 P C = D P + P C^{'} \geq D C^{'} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$ .

故 $D P + 2 P C$ 的最小值为13.

请根据上面的阅读材料，解决下列问题：

如图④，在平面直角坐标系中，点 $A (6 ， 0)$ ，以点O为圆心， $A O$ 为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段 $O A$ 的中点，P是 $\overset{⌢}{A B}$ 上任意一点，点D的坐标为 $(0 ， 5)$ .

(1)、点D关于 $⊙ O$ 的反演点 $D^{'}$ 的坐标为；

(2)、连接 $D P$ 、 $P C$ ，求 $2 D P + \frac{5}{3} P C$ 的最小值；

(3)、如图⑤，以 $O A$ 为直径作 $⊙ C$ ，那么 $⊙ C$ 上所有的点（点O除外）关于 $⊙ O$ 的反演点组成的图形具有的特征是.

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