湖北省荆州市2021年数学中考模拟试卷

试卷更新日期：2021-08-03 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在实数 $\sqrt{3}$ ，1，0，-3中，无理数是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、0 D、-3

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2. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、40° B、50° C、140° D、130°

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3. 如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）

A、仅主视图不同 B、仅俯视图不同 C、仅左视图不同 D、主视图、左视图和俯视图都相同

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4. 用换元法解方程 $\frac{3 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{3 x} = 2$ 时，若设 $\frac{3 x}{x - 1} = t$ ，则原方程可化为关于 $t$ 的方程是（）

A、 $t^{2} - 2 t + 1 = 0$ B、 $t^{2} + 2 t + 1 = 0$ C、 $t^{2} - 2 t + 2 = 0$ D、 $t^{2} - t + 2 = 0$

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5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（）

A、SSS B、SAS C、ASA D、AAS

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6. 一次函数 $y = - 3 x + 1$ 的图象过点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{1} + 1 ， y_{2})$ ， $(x_{1} + 2 ， y_{3})$ ，则（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$

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7. 解方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = m + 2 \\ x - 3 y = 6 m - 3 \end{array}$ 时，用含 $m$ 的代数式表示 $y$ 的值为（）

A、 $- m - 1$ B、 $m - 1$ C、 $- m + 1$ D、 $m + 1$

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8. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）

A、 $D B = D E$ B、 $A B = A E$ C、 $∠ E D C = ∠ B A C$ D、 $∠ D A C = ∠ C$

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9. 如图，直径为10的⊙A经过点 $C$ 和点 $O$ ，点 $B$ 是 $y$ 轴右侧⊙A优弧上一点， $∠ O B C = 30 °$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(0 ， 10)$ B、 $(0 ， 5)$ C、 $(0 ， 5 \sqrt{3})$ D、 $(0 ， 5 \sqrt{2})$

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10. 直线 $y = x + a$ 不经过第二象限，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 实数解的个数是（）.

A、0个 B、1个 C、2个 D、1个或2个

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二、填空题

11. 化简 ${(x + y)}^{2} - (x - y) (x + y)$ 的结果是.

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12. 上电脑课时，有一排桌上放有四台电脑，同学 $A$ 先坐在如图的一台电脑前的座位上， $B$ ， $C$ ， $D$ 三位同学随机坐到其他三个座位上，则 $A$ 与B两同学坐在相邻电脑前座位上的概率为.

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13.
如图，将一块含30°角的直角三角板和半圆量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切．若半径OA=2，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）

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14. 如图，某天然气公司的主输气管道从 $A$ 市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在 $A$ 处测得要安装天然气的 $M$ 小区在 $A$ 市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达 $C$ 处，测得小区 $M$ 位于 $C$ 的北偏西60°方向.当在主输气管道 $A C$ 上寻找支管道连接点 $N$ ，使到该小区 $M$ 铺设的管道最短时， $A N$ 的长为.

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15. 如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为.

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16. 如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 $T_{m}$ （ $m$ 为1~8的整数）.函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象为曲线 $L$ .若 $L$ 过点 $T_{4}$ ，则它必定还过另一点 $T_{m}$ ，则 $m =$ .

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三、解答题

17. 若计算 $(2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{2}) \times \sqrt{\frac{1}{3}} - {(\frac{1}{3})}^{- 1} + {(- 2021)}^{0}$ 的结果为 $k$ ，请估算 $k$ 的值最接近于哪两个整数之间.

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18. 若关于 $x$ 的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} x - \frac{1}{4} (4 a - 2) \leq \frac{1}{2} \\ \frac{3 x - 1}{2} < x + 2 \end{array}$ 的解集是 $x \leq a$ ，求关于 $y$ 的分式方程 $\frac{2 y - a}{y - 1} - \frac{y - 4}{1 - y} = 1$ 的非负整数解.

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19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．

(1)、在图中画出以AB为边的正方形 $A B E F$ ，点E和点F均在小正方形的顶点上；

(2)、在图中画出以CD为边的等腰三角形 $C D G$ ，点G在小正方形的顶点上，且 $Δ C D G$ 的周长为 $10 + \sqrt{10}$ ，连接EG，请直接写出线段EG的长．

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20. 每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82；八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94.七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级	七年级	八年级
平均数	92	92
中位数	93	b
众数	c	100
方差	52	50.4

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、直接写出上述图表中a，b，c的值；

(2)、根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；

(3)、该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？

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21. 函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索.画函数

y = - 2 | x |

的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数

y = - 2 | x | + 2

和

y = - 2 | x + 2 |

的图象如图所示.

x	…	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	…
y	…	﹣6	﹣4	﹣2	0	﹣2	﹣4	﹣6	…

(1)、观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化.写出点A，B的坐标和函数

y = - 2 | x + 2 |

的对称轴.

(2)、探索思考：平移函数

y = - 2 | x |

的图象可以得到函数

y = - 2 | x | + 2

和

y = - 2 | x + 2 |

的图象，分别写出平移的方向和距离.

(3)、拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数

y = - 2 | x - 3 | + 1

的图象.若点

(x_{1} ， y_{1})

和

(x_{2} ， y_{2})

在该函数图象上，且

x_{2} > x_{1} > 3

，比较

y_{1}

，

y_{2}

的大小.

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22. 一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：
销售单价x（元/kg）
120
130
…
180
每天销量y（kg）
100
95
…
70
设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．

(1)、直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

(2)、当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？

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23. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ C A B = 30 °$ ， $△ A B D$ 是等边三角形， $E$ 是 $A B$ 的中点，连接 $C E$ 并延长交 $A D$ 于 $F$ .

(1)、求证：① $△ A E F ≌ △ B E C$ ；② $△ B E C ∽ △ A B D$ ；

(2)、如图2，将四边形 $A C B D$ 折叠，使 $D$ 与 $C$ 重合， $H K$ 为折痕，求 $\sin ∠ A C H$ 的值.

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24. 如图1，解析式为 $y = m x + n (m < 0 ， n > 0)$ 的直线 $l$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别相交于 $A$ ， $B$ 两点，将 $△ A O B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转90°得到 $△ C O D$ ，过点 $A$ ， $B$ ， $D$ 的抛物线 $P$ 叫做 $l$ 的关联抛物线，而 $l$ 叫做 $P$ 的关联直线.

(1)、①若 $l$ 的解析式为 $y = - 2 x + 2$ ，求 $P$ 表示的函数解析式；
②若 $P$ 的解析式为 $y = - x^{2} - 3 x + 4$ ，求 $l$ 表示的函数解析式；

(2)、求 $P$ 的对称轴（用含 $m$ ， $n$ 的代数式表示）；

(3)、如图2，若 $l$ 的解析式为 $y = m x - 4 m$ ， $G$ 为 $A B$ 中点， $H$ 为 $C D$ 中点，连接 $G H$ ， $M$ 为 $G H$ 中点，连接 $O M$ .若 $O M = \sqrt{10}$ ，真接写出 $l$ ， $P$ 表示的函数解析式.

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销售单价x（元/kg）	120	130	…	180
每天销量y（kg）	100	95	…	70