湖北省黄石市2021年九年级下学期数学4月调研考试数学试卷

试卷更新日期：2021-08-03 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $\frac{2}{5}$ 的倒数是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、4 D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、直角三角形 B、等腰梯形 C、平行四边形 D、菱形

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3.
一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A、三棱锥 B、三棱柱 C、圆柱 D、长方体

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a + 3 b = 5 a b$ B、 ${(a b^{2})}^{3} = a^{3} b^{5}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{4}$ D、 $2 a^{2} \cdot 3 a^{3} = 6 a^{6}$

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5. 函数 $y = \frac{1}{x} + \sqrt[3]{x + 1}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq 0$ B、 $x \geq - 1$ C、 $x \neq - 1$ D、 $x \geq - 1$ ，且 $x \neq 0$

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6. 一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，3，4，且这组数据的平均数为4，则这组数据的中位数为（）

A、7 B、4 C、3.5 D、3

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7. 在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标是 $(2 ， \sqrt{3})$ ，连接 $O A$ ，将线段 $O A$ 绕原点 $O$ 按逆时针方向旋转90°，得到对应线段 $O A^{'}$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- \sqrt{3} ， 2)$ B、 $(2 ， - \sqrt{3})$ C、 $(- 2 ， \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{3} ， - 2)$

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8. 如图，若 $A B$ 是⊙O的直径， $C D$ 是⊙O的弦， $∠ A B D = 56 °$ ，则 $∠ B C D =$ （）

A、112° B、68° C、56° D、34°

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C < B C$ ，分别以顶点 $A$ 、 $B$ 为圆心，大于 $A B$ 的长为半径作圆弧，两条圆弧交于点 $M$ 、 $N$ 作直线 $M N$ 交边 $C B$ 于点 $D$ .若 $A D = 5$ ， $C D = 3$ ，则 $A B$ 的长是（）

A、10 B、8 C、12 D、 $4 \sqrt{5}$

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10. 如图，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ， $F$ 是 $A B$ 边上的中点，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $A C$ 、 $B C$ 边上运动，且保持 $C D = B E$ ，连接 $D E$ 、 $E F$ 、 $F D$ .在此运动变化过程中，下列结论：① $△ D E F$ 是等腰直角三角形；②四边形 $C D F E$ 不可能为正方形；③ $D E$ 长度的最小值为2；④四边形 $C D F E$ 的面积保持不变；⑤ $△ C D E$ 面积的最大值为2.其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①④⑤ C、①③④ D、③④⑤

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二、填空题

11. 计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} + | 2 - \sqrt{2} | =$ .

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12. 分解因式： $x^{3} - 4 x$ =

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13. 据黄石市统计局和国家统计局黄石调查队联合发布的消息知，2020年黄石生产总值1641.32亿元.用科学记数法表示1641.32亿元，可表示为元.

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14. 一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x + 1 > 3 (x - \frac{1}{3}) \\ 2 x - 0.5 \leq \frac{3}{2} x \end{array}$ 的整数解为.

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15. 如图所示，为了测量出某学校教学大楼 $A B$ 的高度，数学课外小组同学在 $C$ 处，测得教学大楼顶端 $A$ 处的仰角为45°；随后沿直线 $B C$ 向前走了15米后到达 $D$ 处， $F$ 在 $D$ 处测得 $A$ 处的仰角为30°，已知测量器高1米，则建筑物 $A B$ 的高度约为米.（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果按四舍五入保留整数）

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16. 如图，点 $A$ 、 $B$ 的坐标分别为 $(0 ， 2)$ 、 $(3 ， 4)$ ，点 $P$ 为 $x$ 轴上的一点，若点 $B$ 关于直线 $A P$ 的对称点 $B^{'}$ 落在 $x$ 轴上，则点 $P$ 的坐标为.

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17. 如图， $A$ 、 $B$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限内图象上的两点，过点 $A$ 作 $A C ⊥ x$ 轴，交 $O B$ 于点 $D$ ，垂足为点 $C$ ， $B E ⊥ x$ 轴.若 $\frac{O D}{D B} = \frac{1}{2}$ ，且 $△ O A D$ 的面积为 $\frac{1}{3}$ ，则 $k$ 的值为.

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18. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，且 $O B = O C$ ，则下列结论：
① $a c + b + 1 = 0$ ；② $\frac{4 a c - b^{2}}{2 a} = 1$ ；③ $a b c < 0$ ；④ $a - b + c < 0$ .其中正确结论的序号是.（把你认为所有正确的都填上）

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x + 1}) + \frac{x - 2}{x + 1}$ ，其中 $x$ 满足 $x^{2} - 1 = 0$ .

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20. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 翻折，点 $B$ 落在点 $F$ 处， $F C$ 交 $A D$ 于 $E$ .

(1)、求证： $△ A F E ≌ △ C D E$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，求图中阴影部分的面积.

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21. 已知关于 $x$ 的方程 $k^{2} x^{2} - 2 (k - 1) x + 1 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ .

(1)、求 $k$ 的取值范围.

(2)、若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 满足等式 $| x_{1} + x_{2} | = 5 x_{1} x_{2} - 1$ ，求 $k$ 的值.

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22. 黄石市某初中学校为了解本校学生对小说、散文、诗歌、寓言四类书籍的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图.

请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、补全条形统计图；

(2)、根据以上统计分析，估计该校2000名学生中，喜爱“寓言”的有人，“寓言”所对应的扇形圆心角是；

(3)、在此次调查中，甲、乙两班分别有2人喜爱寓言，若从这4人中随机抽取2人去参加全市“寓言宣讲”比赛，请求出所抽取的2人来自不同班级的概率.

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23. 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，

(1)、这个八年级的学生总数在什么范围内？

(2)、若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？

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24. 如图， $A B$ 为⊙O的直径， $C$ 在⊙O上，且 $O C ⊥ A B$ ，弦 $C D$ 交 $A B$ 于点 $F$ .点 $E$ 在 $A B$ 的延长线上，且 $E F = E D$ .

(1)、求证： $D E$ 是⊙O的切线；

(2)、连接 $B C$ ，若 $\tan ∠ B C D = \frac{1}{2}$ ，探究线段 $A B$ 和 $B E$ 之间的数量关系，并给予证明；

(3)、在（2）的条件下，若 $C F = \frac{\sqrt{10}}{2}$ ，求⊙O的半径

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $C (0 ， - 3)$ 三点，点 $D$ 为顶点，直线 $D E$ 为对称轴，点 $E$ 在 $x$ 轴上.

(1)、求抛物线的解析式

(2)、在直线 $D E$ 上求一点 $P$ ，使点 $P$ 到直线 $B D$ 的距离等于到 $x$ 轴的距离；

(3)、在对称轴左侧，抛物线上存在一点 $M$ （不与 $A$ 重合）.使 $S_{△ A C M} = \frac{1}{2} S_{△ B C M}$ ，求点 $M$ 的坐标.

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