重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {- 1 ， 1 ， 2}$ ，那么 $A \cap B$ 的子集个数为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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2. 设 $i \cdot z = 4 - 3 i (i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部为 $($ 　　 $)$

A、-4 B、4 C、 $- 4 i$ D、 $4 i$

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3. 不负青山，力换“金山”——重庆缙云山国家级自然保护区经过治理，逐步实现“生态美、百姓富”.近几年，北碚区结合当地资源禀赋，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，加大缙云山棚户区改造，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.游客甲与乙同时沿下图旅游线路游玩.甲将在第18站之前的任意一站下，乙将在第9站之前的任意一站下，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{9}{17}$

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4. 假设地球是半径为 $r$ 的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于 $x O y$ 平面上， $z$ 轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线(弧 $\overset{⌢}{A S B}$ )是0度经线，位于 $x O z$ 平面上，且交 $x$ 轴于点 $S (r ， 0 ， 0)$ ，如图所示，已知赤道上一点 $E (\frac{1}{2} r ， \frac{\sqrt{3}}{2} r ， 0)$ 位于东经60度，则地球上位于东经30度､北纬60度的空间点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{4} r ， \frac{1}{4} r ， \frac{\sqrt{3}}{2} r)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} r ， \frac{1}{2} r ， \frac{\sqrt{3}}{2} r)$ C、 $(\frac{1}{2} r ， \frac{\sqrt{3}}{2} r ， \frac{1}{2} r)$ D、 $(\frac{1}{4} r ， \frac{\sqrt{3}}{4} r ， \frac{\sqrt{3}}{2} r)$

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5. 某商场为了了解毛衣的月销售量 $y$ （件）与月平均气温 $x$ （℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：

月平均气温 $x ° C$

17

13

8

2

月销售量 $y$ （件）

24

33

40

55

由表中数据算出线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\hat{b} = - 2$ ，气象部门预测下个月的平均气温为 $6 ° C$ ，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）

A、58件 B、40件 C、38件 D、46件

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6. 康托（ $C a n t o r$ ）是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 $[0 ， 1]$ 均分为三段，去掉中间的区间段 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 $[0 ， \frac{1}{3}]$ ， $[\frac{2}{3} ， 1]$ 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使“康托三分集”的各区间长度之和小于 $\frac{1}{10}$ ，则需要操作的次数 $n$ 的最小值为（）
（参考数据： $\lg 2 = 0.3010$ ， $\lg 3 = 0.4771$ ）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 $B (- 2 ， 0)$ ，若将军从山脚下的点 $A (- \frac{1}{3} ， 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + 2 y = 3$ ，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A、 $\frac{\sqrt{145}}{3}$ B、5 C、 $\frac{\sqrt{135}}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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8. 设 $a = 2 \ln 1.01$ ， $b = \ln 1.02$ ， $c = \sqrt{1.04} - 1$ ．则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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9. 设 $f (x) = a \sin 2 x + b \cos 2 x$ ，其中 $a$ ， $b \in R$ ， $a b \neq 0$ ，若 $f (x) \leq | f (\frac{π}{6}) |$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，则以上结论正确的是（）

A、 $f (\frac{11 π}{12}) = 0$ B、 $| f (\frac{7 π}{10}) | < | f (\frac{π}{5}) |$ C、 $f (x)$ 的单调递增区间是 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ D、存在经过点 $(a ， b)$ 的直线与函数 $f (x)$ 的图象不相交

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二、多选题

10. 已知圆锥曲线C： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b} = 1$ ，若三个数1， $b^{2}$ ，7成等差数列，则C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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11. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，给出下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} + 1 > a$ B、 $a^{2} + 9 > 6 a$ C、 $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ D、 $(a + \frac{1}{a}) (b + \frac{1}{b}) \geq 4$

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12. 在四边形 $A B C D$ 中， $M$ 是边 $A B$ 上一点，且满足 $M A = M B = M C = M D = 1$ ， $∠ C M D = 120 °$ .若点 $N$ 在线段 $C D$ （端点 $C$ ， $D$ 除外）上运动，则 $\vec{N A} \cdot \vec{N B}$ 的可能取值是（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、1

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三、填空题

13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 2 y$ 的焦点， $M$ 是抛物线 $C$ 上位于第一象限内的任意一点，过 $M$ ， $F$ ， $O$ 三点的圆的圆心为 $Q$ ，若直线 $M Q$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $M$ ，则点 $M$ 的坐标是.

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14. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = n$ ，则 $a_{2} =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中，若 $a = 2 ， c = 2 \sqrt{3} ， \cos C = - \frac{1}{2}$ ，M是BC的中点，则AM的长为．

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16. 四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形，侧面 $S A D$ 是以 $S D$ 为斜边的等腰直角三角形，若 $2 \sqrt{2} \leq S C \leq 4$ ，则四棱锥 $S - A B C D$ 的体积取值范围为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} a s i n C = c c o s A ， a^{2} + c^{2} = b^{2} + \sqrt{3} a c$ ．

(1)、求A和B的大小；

(2)、若M，N是边AB上的点， $∠ M C N = \frac{π}{3} ， b = 4$ ，求 $△ C M N$ 的面积的最小值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、若 $S_{n} = - 127$ ，求n.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，以 $B C$ 为直径的圆O(O为圆心)过点A ，且 $A O = A C = A P = 2 ， P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，M为 $P C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $O A M ⊥$ 平面 $P C D$ .

(2)、求二面角 $O - M D - C$ 的余弦值.

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20. 设动点 $P$ 与定点 $F (\sqrt{3} ， 0)$ 的距离和 $P$ 到定直线 $l ： x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，不过原点 $O$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，直线 $O M$ 与曲线 $C$ 交于 $C$ ，D两点，证明： $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共圆.

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21. 某投资公司现提供两种一年期投资理财方案，一年后投资盈亏的情况如下表，已知每种投资方案，一年后的投资盈亏只可能出现相应表格中列举的几种情况，且两种投资方案相互独立.

投资股市	获利40％	不赔不赚	亏损20％
概率 $p$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$
购买基金	获利20％	不赔不赚	亏损10％
概率 $p$	$m$	$\frac{1}{3}$	$n$

(1)、甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“购买基金”，若一年后他们中至少有一人盈利的概率大于

\frac{4}{5}

，求

m

的取值范围；

(2)、若

m = \frac{1}{2}

，某人现有10万元资金，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择出一种，那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望值较大？请说明理由.

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22. 设函数 $f (x) = e^{x} - m \sin x + n$ （其中 $e \approx 2.71828 \dots$ ，m，n为常数）

(1)、当 $m = 1$ 时，对 $x \in (0 ， + \infty)$ 有 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数n的取值范围；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为 $x - y - 1 = 0$ ，函数 $g (x) = x f (x) + x - 2$ 的零点为 $x_{0}$ ，求所有满足 $x_{0} \in [k ， k + 1]$ 的整数k的和．

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月平均气温 $x ° C$	17	13	8	2
月销售量 $y$ （件）	24	33	40	55