辽宁省协作校2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知： $z = i (3 - 2 i)$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - 3 i$ B、 $2 + 3 i$ C、 $3 + 2 i$ D、 $3 - 2 i$

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2. 同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币一枚正面向上一枚反面向上的概率是（）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} - 5 x < 0$ ”是“ $| x - 1 | < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列命题错误的是（）

A、若平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，则平面 $α$ 内所有直线都垂直于平面 $β$ B、若平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，则平面 $α$ 内一定存在直线垂直于平面 $β$ C、若平面 $α$ 不垂直于平面 $β$ ，则平面 $α$ 内一定不存在直线垂直于平面 $β$ D、若平面 $α ⊥$ 平面 $γ$ ，平面 $β ⊥$ 平面 $γ$ ， $α \cap β = l$ ，则 $l ⊥ γ$

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5. 已知递增等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{5} = 18$ ， $a_{3} \cdot a_{4} = 32$ ，若 $a_{n} = 128$ ，则 $n =$ （）．

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 三个数 $a = {(\frac{3}{5})}^{2}$ ， $b = \ln \frac{3}{5}$ ， $c = 2^{\frac{3}{5}}$ 之间的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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7. 函数 $f (x) = \frac{\ln | x |}{| x |}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 原始的蚊香出现在宋代．根据宋代《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线 $l$ 上取长度为1的线段 $A B$ ，做一个等边三角形 $A B C$ ，然后以点 $B$ 为圆心， $A B$ 为半径逆时针画圆弧，交线段 $C B$ 的延长线于点 $D$ ，再以点 $C$ 为圆心， $C D$ 为半径逆时针画圆弧，交线段 $A C$ 的延长线于点 $E$ ，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”的总长度为（）．

A、 $\frac{56 π}{3}$ B、 $14 π$ C、 $24 π$ D、 $10 π$

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9. 执行如图的程序框图，若输出的 $n = 4$ ，则输入的整数 $p$ 的最小值是

A、4 B、5 C、6 D、15

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10. 已知角 $α$ 满足 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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11. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{2}$ 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 $P$ ，若直线 $P F_{1}$ 恰好与圆 $F_{2}$ 相切于点 $P$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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12. 设函数 $f (x) = e^{x} (3 x - 1) - a x + a$ ，其中 $a < 1$ ，若有且只有一个整数 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) \leq 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{e} ， \frac{3}{4})$ B、 $[\frac{2}{e} ， \frac{3}{4})$ C、 $[\frac{2}{e} ， 1]$ D、 $(\frac{2}{e} ， 1)$

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二、填空题

13. 在平面直角坐标系中，将曲线 $C ： y = \sin 2 x$ 上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得新的曲线的方程为．

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14. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ =（－4，3）， $\overset{⇀}{b}$ =（6，m），且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则m=.

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15. 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，已知抛物线在 $A$ 点处的切线斜率为2，则直线 $A F$ 与该切线的夹角的正弦值为．

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16. 已知一族双曲线 $E_{n} ： x^{2} - y^{2} = n^{2} (n \in N^{+})$ ，设直线 $x = 2 n$ 与 $E_{n}$ 在第一象限内的交点为 $A_{n}$ ，点 $A_{n}$ 在 $E_{n}$ 的两条渐近线上的射影分别为 $B_{n}$ 、 $C_{n}$ ，记 $△ A_{n} B_{n} C_{n}$ 的面积为 $a_{n}$ ，对任意 $n \in N^{*}$ 不等式 $\frac{1}{2 a_{1}} + \frac{2}{3 a_{2}} + \frac{3}{4 a_{3}} + \dots + \frac{n}{(n + 1) a_{n}} < λ$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 某同学用“五点法”画函数

f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})

在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：

$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$x$		$\frac{π}{6}$		$\frac{2 π}{3}$
$f (x)$	0	2	0		0

(1)、根据表中数据求函数

f (x)

的解析式；

(2)、求函数

f (x)

在区间

[- \frac{π}{2} ， 0]

上的最大值和最小值．

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18. 2021年是中国共产党成立100周年，中共中央要求我们要熟悉党史、学习党史．某社区为了解居民对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，并从所有的居民竞赛试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在 $[50 ， 60)$ 的试卷份数是24．

(1)、求 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、用分层抽样的方法在成绩为 $[80 ， 90)$ 和 $[90 ， 100]$ 这两组中共抽取5份试卷，并从这5份试卷中任取2份试卷的居民进行点评，求分数在 $[90 ， 100]$ 恰有1份的概率．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B D$ ， $A P = P D = B D = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A P ⊥ P D$ ．

(1)、求证 $A P ⊥ B D$ ；

(2)、求二面角 $B - A P - D$ 的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C_{1}$ 以直线 $x + m y - \sqrt{5} = 0$ 所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、已知椭圆 $C_{2}$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆 $C_{1}$ 的长轴和短轴的长的 $λ$ 倍 $(λ > 0)$ ，过点 $C (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C_{2}$ 交于 $A$ ， $B$ 两个不同的点，若 $\vec{A C} = 2 \vec{C B}$ ，求 $△ A O B$ 的面积的最大值．

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21. 已知函数 $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} - e \cdot \ln x .$
（I）求函数 $F (x)$ 的极值；

（II）对于函数 $h (x)$ 和 $f (x)$ 定义域内的任意实数 $x$ ，若存在常数 $k ， b$ ，使得不等式 $h (x) \geq k x + b$ 和 $f (x) \leq k x + b$ 都成立，则称直线 $y = k x + b$ 是函数 $h (x)$ 和 $f (x)$ 的“分界线”．

设函数 $h (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ ， $f (x) =$ $h (x) - F (x)$ ，试问函数 $h (x)$ 和 $f (x)$ 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程．若不存在请说明理由．

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22. 已知曲线 $C$ 的极坐标方程是 $\frac{2}{ρ^{2}} = 1 + \sin^{2} θ$ ，直线 $l$ 的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = - \frac{\sqrt{2}}{2} t + 1 \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array} (t$ 为参数）

(1)、将曲线 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点是 $P$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $\frac{1}{| P M |} + \frac{1}{| P N |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) < x$ ；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + f (x - 1)$ 的最小值为 $a$ ，且 $m + n = a (m > 0 ， n > 0)$ ，
求 $\frac{2}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值.

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