辽宁省协作校2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | < 3 ， x \in Z} ， B = {y | | y | > 1 ， y \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${- 3 ， - 2 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 2 ， 2}$ D、 ${2}$

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2. 设函数f(x)＝ ${\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x \leq 1 ， \\ \frac{2}{x} ， x > 1 ， \end{array}$ 则f(f(3))＝（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、3 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{13}{9}$

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3. 设 $m \in R$ ，命题“存在 $m > 0$ ，使方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根”的否定是（）

A、对 $\forall m > 0$ ，方程 $x^{2} + x - m = 0$ 无实根 B、对 $\forall m > 0$ ，方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根 C、对 $\forall m < 0$ ，方程 $x^{2} + x - m = 0$ 无实根 D、对 $\forall m < 0$ ，方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根

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4. 设正数 $x ， y$ 满足 $x > y ， x + 2 y = 3$ ，则 $\frac{1}{x - y} + \frac{9}{x + 5 y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、3 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{1 - 3 x}}{a x^{2} + a x - 3}$ 的定义域是R ，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \geq 0$ 或 $a < - 12$ B、 $- 12 < a \leq 0$ C、 $- 12 < a < 0$ D、 $a > 0$ 或 $a < - 12$

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6. 若函数 $f (x) = \log_{a} (8 x - a x^{2})$ 在区间 $(\frac{1}{4 a^{2}} ， a^{2})$ 上为减函数，则a的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ C、 $(1 ， \sqrt[3]{4}]$ D、（1，2]

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7. 已知函数 $f (x) = x^{n} + \frac{16}{x^{n}}$ (n为正整数)，有下列四种说法：
①函数 $f (x)$ 始终为奇函数；

②当n为偶数时，函数 $f (x)$ 的最小值为8；

③当n为奇数时，函数 $f (x)$ 的极大值为 $- 8$ ；

④当 $n = 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 的图像关于直线 $y = 2 x$ 对称.

其中所有正确说法的序号是（）

A、①② B、②③ C、②④ D、③④

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8. 已知函数 $f (x) = x \sin x + \cos x + x^{2}$ ，则不等式 $f (\ln x) + f (\ln \frac{1}{x}) < 2 f (1)$ 的解集为（）

A、 $(e ， + \infty)$ B、 $(0 ， e)$ C、 $(0 ， \frac{1}{e}) \cup (1 ， e)$ D、 $(\frac{1}{e} ， e)$

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二、多选题

9. “关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 a x + a > 0$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立”的一个必要不充分条件是（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $0 \leq a \leq 1$ C、 $0 < a < \frac{1}{2}$ D、 $a \geq 0$

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10. 已知函数 $f (x) = 2019^{x} + \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x) - 2019^{- x} + 1$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是奇函数 B、关于x的不等式 $f (2 x - 1) + f (2 x) > 2$ 的解集为 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ C、函数 $f (x)$ 在R上是增函数 D、函数 $f (x)$ 的图象的对称中心是 $(0, 1)$

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11. 定义在R上的函数 $f (x)$ ，满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = 1 - | 2 x - 1 |$ ，则使得 $f (x) < 4$ 在 $(- \infty ， m]$ 上恒成立的m可以是（）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{13}{4}$ D、 $\frac{15}{4}$

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12. 材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 $f (x) = x^{x} (x > 0)$ ，我们可以作变形： $f (x) = x^{x} = e^{\ln x^{x}} = e^{x \ln x} = e^{t}$ $(t = x \ln x)$ ，所以 $f (x)$ 可看作是由函数 $f (t) = e^{t}$ 和 $g (x) = x \ln x$ 复合而成的，即 $f (x) = x^{x} (x > 0)$ 为初等函数.根据以上材料，对于初等函数 $h (x) = x^{\frac{1}{x}} (x > 0)$ 的说法正确的是（）

A、无极小值 B、有极小值 $1$ C、无极大值 D、有极大值 $e^{\frac{1}{e}}$

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三、填空题

13. 为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：
理科
文科
总计
男
13
10
23
女
7
20
27
总计
20
30
50
已知P（K²≥3.841）≈0.05，P（K²≥5.024）≈0.025．
根据表中数据，得到K²= $\frac{50 \times (13 \times 20 - 10 \times 7) 2}{23 \times 27 \times 20 \times 30}$ ≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为．

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14. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty ， + \infty)$ 的奇函数，满足 $f (2 - x) = f (4 + x)$ ，若 $f (- 1) = 2$ ，则 $f (2021) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \log_{3} x | (x > 0) \\ | - x^{2} - 2 x + \frac{1}{2} | (x \leq 0) \end{array}$ ，方程 $f (x) - a = 0$ 有四个不同的实数根，则a的取值范围是.

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16. 设 $a > 0$ ，当 $x > 0$ 时，不等式 $\frac{1}{2} x^{2} + (1 - a) x - a \ln x > 2 a - \frac{3}{2} a^{2}$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 某公司为了提高利润，从2014年至2020年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如表：

年份	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
投资金额x(万元)	4.5	5.0	5.5	6.0	6.5	7.0	7.5
年利润增长y(万元)	6.0	7.0	7.4	8.1	8.9	9.6	11.1

(1)、请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；

(2)、如果2021年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？(结果保留两位小数)

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 359.6 ， \sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} = 259$ .

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18. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq x < 4} ， B = {x | 2 m - 1 \leq x \leq m + 1}$

(1)、若 $B \subseteq A$ ，求实数m的取值范围.

(2)、命题q：“ $\exists x \in A$ ，使得 $x \in B$ ”是真命题，求实数m的取值范围.

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19. 如图， $G H$ 是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库，设 $A B = y$ 千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站 $C D E F$ (其中边 $E F$ 在公路 $G H$ 上).若从点A向公路和中转站分别修两条道路 $A B ， A C$ ，已知 $A B = A C + 1$ ，且 $∠ A B C = 60 °$ .

(1)、求y关于x的函数解析式；

(2)、如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x取何值时，修建中转站和道路的总造价M最低？

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且当 $n \in N^{*}$ 时， $S_{n}$ 是 $2^{n + 1}$ 与 $2 m$ 的等差中项（ $m$ 为实数）.

(1)、求 $m$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，

(2)、令 $b_{n} = 1 + \log_{2} a_{n} (n \in N^{*})$ ，是否存在正整数 $k$ ，使得 $\frac{1}{b_{n} + 1} + \frac{1}{b_{n} + 2} + \dots + \frac{1}{b_{n} + n} > \frac{k}{20}$ 对任意正整数 $n$ 均成立？若存在，求出 $k$ 的最大值；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = {(\log_{2} x)}^{2} - 2 \log_{2} x + a^{2}$ ．

(1)、若对任意 $x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $m > 1$ ，若对任意 $x \in [2, + \infty)$ ，不等式 $f (m (2^{x} - 2^{- x})) < f (4^{x} + 4^{- x} - 1)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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22. 设函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - t \ln x$ ，其中 $x \in (0 ， 1) ， t$ 为正实数.

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in (0 ， 1)$ 时，证明 $x^{2} + x - \frac{1}{x} - 1 < e^{x} \ln x$ .

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	理科	文科	总计
男	13	10	23
女	7	20	27
总计	20	30	50