辽宁省锦州市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知P(B|A)＝ $\frac{1}{3}$ ，P(A)＝ $\frac{2}{5}$ ，则P(AB)等于（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{15}$

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2. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、-2 B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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3. 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（）

A、0.8 B、0.832 5 C、0.532 5 D、0.482 5

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4. 《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（）

A、1.5尺 B、2.5尺 C、3.5尺 D、4.5尺

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5. 李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”､“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”､“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为 $\frac{1}{3}$ ，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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6. 已知 $f (x) = a ln x + \frac{1}{2} x^{2} (a > 0)$ ，若对任意两个不等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ 恒成立，则a的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $[1, + \infty)$

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7. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（）万元.（四舍五入，精确到整数）
（参考数据： ${(1.05)}^{2} = 1.1025$ ， ${(1.05)}^{3} = 1.1576$ ， ${(1.05)}^{4} = 1.2155$ ）

A、36 B、37 C、38 D、39

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8. 下列函数图象中，函数 $f (x) = x^{α} e^{| x |} (α \in Z)$ 的图象不可能的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 $a$ 后，方差也变为原来的 $a$ 倍 B、抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量 C、线性相关系数 $r$ 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D、若回归直线的斜率估计值为0.25， $\bar{x} = 2$ ， $\bar{y} = 3$ ，则回归直线的方程为 $y = 0.25 x + 2.5$

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10. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为 $f (x) = \frac{1}{10 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - 100)}^{2}}{200}}, x \in (- \infty, + \infty)$ ，则下列说法正确的是（）

A、该地水稻的平均株高为100cm B、该地水稻株高的方差为10 C、随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大 D、随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域 $[- 1 ， 5]$ ，部分对应值如表， $f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，下列关于函数 $f (x)$ 的结论正确的是（）

$x$

-1

0

4

5

$f (x)$

1

2

2

1

A、函数 $f (x)$ 的极大值点有2个 B、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上是减函数 C、若 $x \in [- 1 ， t]$ 时， $f (x)$ 的最大值是2，那么 $t$ 的最大值为4 D、当 $1 < a < 2$ 时，函数 $y = f (x) - a$ 有4个零点

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12. 已知数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 均为递增数列， ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}, {b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n},$ 且满足 $a_{n} + a_{n + 1} = 2 n, b_{n} \cdot b_{n + 1} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < a_{1} < 1$ B、 $1 < b_{1} < \sqrt{2}$ C、 $S_{2 n} < T_{2 n}$ D、 $S_{2 n} \geq T_{2 n}$

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三、填空题

13. 随机变量 $ξ ~ B (n ， p)$ ，若 $E (ξ) = 30$ ， $D (ξ) = 20$ ，则 $n =$ .

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14. 写出一个满足下列条件的三次多项式函数：① $R$ 上的奇函数；②在 $x = 1$ 处的切线斜率为4，则 $f (x)$ 可以为.

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ， $g (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，若存在 $x_{1} > 0$ ， $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) < 0$ 成立，则 $x_{1} x_{2}$ 的最小值为.

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16. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2^{n} - a$ ，则 $a =$ ； $\frac{1}{a_{2019}} + \frac{1}{a_{2021}}$ $\frac{2}{a_{2020}}$ .（填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ，且___________，其中 $n \in N^{*}$ ，从① $a_{n + 1} - 2 a_{n} = n - 1$ ，② $a_{n + 1} - a_{n} = 2^{n} - 1$ ，③ $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 2 + \frac{n - 1}{2^{n} - n}$ 三个条件中任选一个填入上面的横线中，并完成下列问题解答.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{(2^{n} - a_{n}) (n + 2)}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求 $S_{n}$ .

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18. 为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：

单价 $x$ （元/件）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量 $y$ （万件）	90	84	83	80	75	68

(1)、根据以上数据，求

y

关于

x

的线性回归方程；

(2)、若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？

（参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

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19. 设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = e^{x} - 2 x + a$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、求证：当 $a > \ln 2 - 1$ ，且 $x > 0$ 时，有 $e^{x} > x^{2} - 2 a x + 1$ .

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20. 受新冠疫情影响，来我市旅游人数与前几年同期相比有所减少，某土特产超市为预估2021年暑假期间游客购买土特产的情况来制定进货方案，对2020年暑假期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下购买金额及人数分布表：

购买金额（元）	$[0 ， 15)$	$[15 ， 30)$	$[30 ， 45)$	$[45 ， 60)$	$[60 ， 75)$	$[75 ， 90]$
人数	10	15	20	15	20	10

(1)、根据以上数据完成

2 \times 2

列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关；

	不少于60元	少于60元	合计
男		40
女	18
合计

(2)、售货员佳佳发现：沟帮子烧鸡、锦州小菜、真空包装干豆腐这三种特产成为了本店的“明星”商品.若有一位顾客需要在预选的包括这三种“明星”商品在内的7件（种类均不同）产品中挑选4件特产带回家，求购买的4件特产中包含“明星”商品的件数

X

的分布列及期望.

附：参考公式和数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

附表：

k₀	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879
P（K²≥k₀）	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005

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21. 已知函数 $f (x) = (a - x) \sin x - \cos x$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，证明： $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有唯一零点；

(2)、若 $f (x) \leq 2$ 对 $\forall x \in (0 ， π)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22.

(1)、某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动.月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加.社团活动积极分子甲同学参加了活动.
①第一个月有18个中签名额.甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签.求这三名同学同时中签的概率.

②理学社设置了第 $n$ ( $n \in N_{+}$ )个月中签的名额为 $2 n + 16$ ，并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签，则活动立刻结束.求甲同学参加活动时间的期望.

(2)、某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动.报名和抽签时间与（1）中某中学理学社的报名和抽签时间相同，最初有30万人参加，甲同学在其中.每个月抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人数与中签的人数相同.出版集团设置了第 $n$ ( $n \in N_{+}$ )个月中签的概率为 $p_{n} = \frac{19 + {(- 1)}^{n}}{180}$ ，活动进行了 $2 k (k \in N_{+})$ 个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于 $9.5$ 个月.

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$x$	-1	0	4	5
$f (x)$	1	2	2	1