吉林省白城市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $(3 + 2 i) z = 2 + i^{3}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 为比较相关变量的线性相关程度，5位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数 $r$ 如下表所示：

同学甲

同学乙

同学丙

同学丁

同学戊

相关系数 $r$

0.45

-0.69

0.74

-0.98

0.82

则由表可知（）

A、乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高 B、甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高 C、乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高 D、甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高

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3. 函数 $f (x) = x \ln x$ 的图象在 $x = e$ 处的切线方程为（）

A、 $2 x - y - e = 0$ B、 $x - 2 y + e = 0$ C、 $2 x + y - 3 e = 0$ D、 $x + 2 y - 3 e = 0$

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4. 三个班分别从六个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（）

A、729 B、18 C、216 D、81

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5. $(2 + \frac{1}{x}) {(1 - x)}^{10}$ 展开式中的常数项为（）

A、12 B、8 C、-8 D、-12

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6. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 恰有3个极值点，则 $f (x)$ 的导函数的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 现有下面四个命题：
①若 $\bar{z} = 2 - 3 i$ ，则 $| z + i | = 2 \sqrt{2}$ ；

②若 $X ~ N (1 ， 4)$ ， $P (1 < X < 3) = m$ ，则 $P (X < - 1) = 0.5 - m$ ；

③如果今天是2021年6月22日（星期二），那么两百天后是星期六；

④若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} + n^{2} = 2 a_{n} + 2 n + 1$ ，则由数学归纳法可证明 $a_{n} = n^{2} + 2^{n}$ ．

其中所有真命题的序号是（）

A、②④ B、②③④ C、②③ D、①③

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8. 设 $0 < a < 1$ ，则随机变量 $X$ 的分布列是：

$X$

0

$a$

1

$P$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

则当 $a$ 在 $(0 ， 1)$ 内增大时（）

A、 $D (X)$ 增大 B、 $D (X)$ 减小 C、 $D (X)$ 先增大后减小 D、 $D (X)$ 先减小后增大

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9. 设 $(1 - x^{3}) {(1 + x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + \cdot \cdot \cdot + a_{10} x^{10}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{3} a_{i} + \sum_{j = 5}^{10} a_{j} =$ （）

A、-36 B、6 C、-29 D、-27

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10. 已知 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = 1 + 3 i$ ，且 $| \frac{z}{1 - i} - z_{0} | = | z - i |$ ，则 $| z_{0} |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{5} + \sqrt{17}$ B、 $\sqrt{17} - \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{17}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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11. 某电影院的一个放映室前3排的位置如图所示，甲和乙各自买了一张同一个场次的电影票，已知他们买的票的座位都在前3排，则他们观影时座位不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率约为（）

A、0.87 B、0.89 C、0.91 D、0.92

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12. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的（详解九章算法）一书里出现了如图所示的图，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，已知第 $n$ 行的所有数字之和为 $2^{n - 1}$ ，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前37项和为（）

A、1040 B、1014 C、1004 D、1024

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二、填空题

13. $(4 - 3 i) (- 5 - 4 i)$ 的虚部为．

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14. 某种旅行箱的密码锁由三个数字组成（每个位置上的数字可从0~9这10个数字中任选一个）．小张购买一个旅行箱后，打算设置密码，自上而下第一个位置的数字设置为质数，第二个位置的数字设置为奇数，第三个位置的数字设置为偶数，则他可选择的不同密码的个数为．

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15. 某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，则这个部件能正常工作的概率为．

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16. ${(3 x - y)}^{n}$ 展开式中的二项式系数和为64，则 $n =$ ，展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数是．

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三、解答题

17. 在直角坐标系中，曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 9$ ，曲线 $C$ 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的 $\frac{1}{3}$ ，得到曲线 $C^{'}$ ．以原点为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，射线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{6} (ρ \geq 0)$ ， $l$ 与曲线 $C$ ， $C^{'}$ 分别交于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、求曲线 $C^{'}$ 的直角坐标方程和极坐标方程；

(2)、求 $| A B |$ 的值．

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18. 某企业研制出一款疫苗后，招募了100名志愿者进行先期接种试验，其中50岁以下50人，50岁及以上50人．第一次接种后10天，该企业又对志愿者是否产生抗体进行检测，共发现75名志愿者产生了抗体，其中50岁以下的有45人产生了抗体．

	50岁以下	50岁以上	合计
有抗体
没有抗体
合计

填写上面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为该款疫苗是否产生抗体与接种者年龄有关．

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.050	0.010	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	6.635	10.828

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19. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， 3]$ 上的最值．

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20. 现有6位老师（含甲、乙）随意排成一排拍照留念．

(1)、求甲、乙不相邻的概率；

(2)、设甲、乙之间所隔人数为 $X$ ，例如，当甲、乙相邻时， $X = 0$ ，求 $X$ 的数学期望．

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21. 某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104

设这10个数据的平均值为 $μ$ ，标准差为 $σ$ ．

(1)、求 $μ$ 与 $σ$ ．

(2)、假设这批零件的内径 $Z$ （单位： $cm$ ）服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ．
①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于 $107 cm$ 的个数为 $X$ ，求 $D (2 X + 1)$ ；

②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位： $cm$ ），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．

参考数据：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.954$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.997$ ，取 ${0.997}^{4} = 0.99$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - a) \ln x$ ．

(1)、若 $f (x)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围．

(2)、当 $a = 2$ 时，证明： $f (x) > - \frac{9}{20}$ ．

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	同学甲	同学乙	同学丙	同学丁	同学戊
相关系数 $r$	0.45	-0.69	0.74	-0.98	0.82

$X$	0	$a$	1
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$