湖北省重点高中智学联盟2020-2021学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列与集合 $A = {- 1 ， 2}$ 相等的是（）

A、 ${(- 1 ， 2)}$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 ${(x ， y) | x = - 1 ， y = 2}$ D、 ${x | x^{2} - x - 2 = 0}$

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2. 若函数 $f (x) = \sqrt{2 \sin \frac{π}{3} x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $[\frac{π}{2} + 6 k π ， \frac{5 π}{2} + 6 k π]$ （ $k \in Z$ ） B、 $[\frac{1}{2} + 6 k ， \frac{5}{2} + 6 k]$ （ $k \in Z$ ） C、 $[\frac{π}{4} + 6 k π ， \frac{5 π}{4} + 6 k π]$ （ $k \in Z$ ） D、 $[\frac{1}{4} + 6 k ， \frac{5}{4} + 6 k]$ （ $k \in Z$ ）

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3. 下列各函数中，值域为 $(0 ， + \infty)$ 的是（）

A、 $y = 3^{\frac{1}{x + 1}}$ B、 $y = 2^{- 2 x - 1}$ C、 $y = \log_{2} (x^{2} + 2 x + 3)$ D、 $y = \sqrt{1 + 2^{x}}$

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4. 若 $α$ 为第三象限角，则（）

A、 $\sin α - \cos α < 0$ B、 $\tan α < 0$ C、 $\sin (\frac{π}{2} + 2 α) > 0$ D、 $\cos (π - α) > 0$

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5. 下列选项中， $y$ 可表示为 $x$ 的函数是（）

A、 $3^{| y |} - x^{2} = 0$ B、 $x = y^{\frac{2}{3}}$ C、 $\ln y = x^{2}$ D、 $y^{2} = 2 x$

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6. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则“ $S_{n} = n^{2} - n$ ”是“数列 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 集合 $A = {x | x < - 1$ 或 $x \geq 1}$ ， $B = {x | a x + 2 \leq 0}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[- 2 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup [2 ， + \infty)$ D、 $[- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$

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8. 若函数 $f (x) = 2 x^{2} + (x - a) | x - a |$ 在区间 $[- 3 ， 0]$ 上是单调函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 9] \cup {0} \cup [3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 3] \cup {0} \cup [9 ， + \infty)$ C、 $[- 9 ， 3]$ D、 $[- 3 ， 9]$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极小值 B、 $x = - 2$ 是函数 $f (x)$ 的极值点 C、 $f (x)$ 在区间 $(- 2 ， 3)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线斜率大于零

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10. 若集合 $A$ ， $B$ 满足： $\exists x \in A$ ， $x \notin B$ ，则下列关系可能成立的是（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $A \cap B \neq \emptyset$ C、 $B \subseteq A$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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11. 先将曲线 $y = \sin^{2} x - \sqrt{3} \sin (π - x) \sin (x + \frac{3}{2} π)$ 上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向下平移 $\frac{1}{2}$ 个单位，得到 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $g (\frac{2 π}{3}) = 1$ B、 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的值域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ C、 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 D、 $g (x)$ 的图象可由 $y = \cos x + \frac{1}{2}$ 的图象向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度得到

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12. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $x < 0$ 时， $f (x) = - \frac{x}{1 + x}$ B、关于 $x$ 的不等式 $f (x) + f (2 x - 1) < 0$ 的解集为 $(- \infty ， \frac{1}{3})$ C、关于 $x$ 的方程 $f (x) = \frac{1}{3} x$ 有三个实数解 D、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ， $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | < 2$

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三、填空题

13. 函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，若 $f (1) = 3$ ，则 $f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (2021) =$ .

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14. 请根据矩形图表信息，补齐不等式： $\sqrt{a^{2} + c^{2}} + \sqrt{b^{2} + d^{2}} \geq$ .

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15. 若函数 $f (x) = - x^{3} + a x^{2} - 4 x$ 在区间 $(0 ， 2)$ 只有一个极值点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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16. 法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形 $A B C$ 中，角 $A = 60^{\circ}$ ，以 $A B ， B C ， A C$ 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为 $O_{1} ， O_{2} ， O_{3}$ ，若三角形 $O_{1} O_{2} O_{3}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则三角形 $A B C$ 的周长最小值为

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四、解答题

17. 设全集为 $R$ ，不等式 $\frac{x + 3}{x - 7} \leq 0$ 的解集为 $A$ ，不等式 $| x - 4 | < 6$ 的解集为 $B$ .

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、求 $∁_{R} (A \cap B)$ .

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18. 在① $\tan α = 4 \sqrt{3}$ ，② $7 \sin 2 α = 8 \sqrt{3} \cos α$ ，③ $\tan \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ，_____， $\cos (α - β) = \frac{13}{14}$ .

(1)、求 $\sin (α + \frac{5 π}{6})$ 的值；

(2)、求 $β$ .

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19. 已知函数 $f (x) = x - \ln (x - 1)$ .

(1)、求定义域及单调区间；

(2)、求 $g (x) = f (x) - x + x^{2}$ 的极值点.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 4 x + 1$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 过点 $(1 ， - 3)$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的最大值和最小值.

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21. 如图所示，某市有一块正三角形状空地 $△ A B C$ ，其中测得 $B C = 10$ 千米.当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 $△ D E F$ ，其中点 $D$ 在 $A B$ 边上，点 $E$ 在 $B C$ 边上，点 $F$ 在 $A C$ 边上， $D F = 2 D E$ ， $∠ D E F = 90^{\circ}$ ，剩余部分需做绿化，设 $∠ D E B = θ$ .

(1)、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，求 $D E$ 的长；

(2)、当 $θ$ 变化时， $△ D E F$ 的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{- x} + \ln x - 1$ （ $a \in R$ ）.

(1)、当 $a \leq e$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 恰有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），且 $x_{1} + x_{2} \leq \frac{(2 e + 1) \cdot \ln 2 e}{2 e - 1}$ ，求 $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的最大值.

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