北京市通州区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {x | 0 < x \leq 4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(- 1 ， 4)$ C、 $(0 ， 4]$ D、 $(- 1 ， 4]$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 > 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 < 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$

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3. 在下列各图中的两个变量具有线性相关关系的图是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、②④

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4. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）

A、 $r_{2} < r_{4} < r_{3} < r_{1}$ B、 $r_{2} < r_{4} < r_{1} < r_{3}$ C、 $r_{4} < r_{2} < r_{1} < r_{3}$ D、 $r_{4} < r_{2} < r_{3} < r_{1}$

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5. A ， B，C，D，E五个人站成一排，A和C分别站在B的两边（可以与B相邻，也可以与B不相邻）的不同站法共有（）

A、12种 B、16种 C、28种 D、40种

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6. 在 ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中，常数项为（）

A、15 B、-15 C、30 D、-30

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7. 学校有A，B两个餐厅，如果王同学早餐在A餐厅用餐，那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是 $\frac{3}{4}$ ，如果他早餐在B餐厅用餐，那么他午餐在A餐厅用餐的概率是 $\frac{1}{4}$ ，若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是 $\frac{3}{4}$ ，那么他午餐在B餐厅用餐的概率是（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{7}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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8. “ $| x | < | y |$ ”是“ $\ln x < \ln y$ ”成立的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知指数函数 $f (x) = a^{x}$ ，将函数 $f (x)$ 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数 $g (x)$ 的图象，再将 $g (x)$ 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数 $f (x)$ 的图象重合，则 $a$ 的值是（）

A、±3 B、3 C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x} ， x \leq a ， \\ x^{2} ， x > a . \end{array}$ 若集合 ${x | x > 0 ， f (x) = f (- x)}$ 恰有2个元素，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $[0 ， 2)$ C、 $[0 ， 4)$ D、 $[2 ， 4)$

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二、填空题

11. 函数f（x）=lnx+ $\sqrt{1 - x}$ 的定义域为．

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12. 已知变量 $x$ 和变量 $y$ 的一组随机观测数据 $(2 ， 30)$ ， $(4 ， 40)$ ， $(5 ， 60)$ ， $(6 ， 50)$ ， $(8 ， 70)$ .如果 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程是 $\hat{y} = 6.5 x + 17.5$ ，那么当 $x = 5$ 时，残差等于.

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13. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 0) = 0.2$ ，则 $P (X < 2) =$ .

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14. 袋中有4个红球和1个白球，每次从袋中不放回地随机摸出一球，一旦摸出白球即停止摸球，并记此时摸球次数为 $X$ ，则 $E (X) =$ .

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15. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，则 $\frac{\sqrt{2}}{2} x + \sqrt{2} y$ 的最大值是.

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三、解答题

16. 已知函数 $y = f (x)$ 是图象经过点 $(2 ， 4)$ 的幂函数，函数 $y = g (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $g (x) = f (x) - 2 x$ .

（Ⅰ）求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

（Ⅱ）求当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时函数 $y = g (x)$ 的解析式，并在给定的坐标系中画出 $y = g (x)$ （ $x \in R$ ）的图象

（Ⅲ）写出函数 $y = g (x)$ （ $x \in R$ ）的单调区间.

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17. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x - 2$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq (2 a - 1) x - 6$ 在 $(0 ， 2]$ 上恒成立，求 $a$ 的最大值.

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18. 已知函数 $f (x) = 3^{x}$ ， $g (x) = | x + a | - 2$ （ $a \in R$ ）.
（Ⅰ）若函数 $y = f (g (x))$ 是偶函数，求 $a$ ；

（Ⅱ）若函数 $y = g (f (x))$ 存在两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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19. 某公司对某产品作市场调查，获得了该产品的定价

x

（单位：万元/吨）和一天的销量

y

吨）的一组数据，根据这组数据制作了如下统计表和散点图.

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{t}$	$\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} t_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} t_{i} y_{i}$
0.33	10	3	0.164	100	68	350

表中 $t = \frac{1}{x}$ .

（Ⅰ）根据散点图判断， $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 与 $\hat{y} = \hat{c} x^{- 1} + \hat{d}$ 哪一个更适合作为 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，建立 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

（Ⅲ）若生产1吨该产品的成本为0.25万元，依据（Ⅱ）的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？

（经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x$ ）

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20. 为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于

170 cm

的关联性，同学甲调查丁某中学高三年级所有学生，整理得到列联表1，同学乙从该校高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到列联表2.

表1单位：人

性别	身高		合计
性别	$< 170 cm$	$\geq 170 cm$	合计
女	81	16	97
男	28	75	103
合计	109	91	200

表2单位：人

性别	身高		合计
性别	$< 170 cm$	$\geq 170 cm$	合计
女	15	6	21
男	9	10	19
合计	24	16	40

(1)、利用表1，通过比较不低于

170 cm

的学生在女生和男生中的比率，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果有关联，请解释它们之间如何相互影响；

(2)、利用表2，依据

α = 0.05

的独立性检验，推断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义：

(3)、以上两种方法得出的结论是否一致？如果不一致，你认为哪种方法得出的结论准确，原因是什么？

（ $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $x_{0.05} = 3.841$ ）

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21. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $I$ ，集合 $M = {f (x) | f (x + 1) > 2 f (x) ， \forall x \in I}$ .

(1)、若 $I = R$ ， $f (x) = 3^{x}$ ，求证： $f (x) \in M$ ；

(2)、若 $I = (0 ， 1]$ ， $g (x) = a + \log_{2} x$ ，若 $g (x) \in M$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $I = [- 1 ， 1]$ ， $h (x) = - x^{2} + a x + a - 5$ ， $a \in R$ .讨论函数 $h (x)$ 与集合 $M$ 的关系.

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