山西省运城市盐湖区2020-2021学年八年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-08-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A、戴口罩讲卫生 B、勤洗手勤通风 C、有症状早就医 D、少出门少聚集

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2. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）

A、 $a (a - 3) = a^{2} - 3 a$ B、 $a^{2} - 4 a + 4 = {(a - 2)}^{2}$ C、 $a^{2} + 4 a - 4 = a (a + 4) - 4$ D、 $a^{2} - a = a (a - \frac{1}{a})$

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3. 一次函数 $y_{1} = k x + b$ 与 $y_{2} = x + a$ 的图象如图，则不等式 $k x + b < x + a$ 的解集为（）

A、 $x > 1$ B、 $x > 3$ C、 $x < 1$ D、 $x < 3$

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4. 下列运算中，正确的是（）

A、 $\frac{a - b}{a + b} = \frac{b - a}{b + a}$ B、 $\frac{3}{3 a + b} = \frac{1}{a + b}$ C、 $\frac{a b}{a b - a^{2}} = \frac{b}{b - a}$ D、 $\frac{a}{- a + b} = - \frac{a}{a + b}$

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5. 在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， 3)$ ， $B (4 ， - 1)$ ，将线段 $A B$ 平移后得到线段 $C D$ ，若点 $A$ 的对应点 $C (5 ， - 3)$ ，则点 $B$ 的对应点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(7 ， - 7)$ B、 $(- 2 ， - 2)$ C、 $(- 1 ， - 7)$ D、 $(7 ， 5)$

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6. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ，下列条件不能判断四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

A、 $A B // D C$ ， $∠ A B C = ∠ A D C$ B、 $A B = D C$ ， $A D = B C$ C、 $O A = O C$ ， $O B = O D$ D、 $A D // B C$ ， $A B = C D$

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，以下结论：
①线段 $A D$ 是线段 $B C$ 的垂直平分线② $△ A B C$ 是等腰三角形；③ $S_{△ A B D} = S_{△ A C D}$ ；④ $D$ 为 $B C$ 的中点．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 5$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 是 $B C$ 边上的中点，若平行四边形 $A B C D$ 的周长为18，则 $O E =$ （）

A、8 B、2 C、6.5 D、4

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9. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 7$ ， $∠ B = 60 °$ ，将 $△ A B C$ 沿射线 $B C$ 的方向平移，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，再将 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 绕点 $A^{'}$ 逆时针旋转一定角度后，点 $B^{'}$ 恰好与点 $C$ 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）

A、2， $60 °$ B、4， $30 °$ C、1， $30 °$ D、3， $60 °$

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10. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{3}{x - 3} + \frac{x + 3 m}{3 - x} = 2$ 的解为正数，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < \frac{1}{3}$ B、 $m < \frac{1}{3}$ 且 $m \neq - \frac{2}{3}$ C、 $m > - \frac{1}{3}$ 且 $m \neq - \frac{2}{3}$ D、 $m < 3$ 且 $m \neq 0$

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二、填空题

11. 已知一个正 $n$ 边形的每个内角都为 $150 °$ ，则边数 $n$ 为．

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12. 若分式 $\frac{| x | - 3}{x + 3}$ 的值为0，则x的值为．

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13. 如图，将平行四边形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠，使点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处且 $A^{'} D$ 平分 $∠ B D C$ ，若 $∠ A = 123 °$ ，则 $∠ D E C =$ ．

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14. 某晨光文具店以2元的进价购进一种某型号的中性笔，销售时标价为3元，为了扩大销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于35%，则至多可打折．

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 20$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A E$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $C F ⊥ A E$ 于点 $F$ ， $D F = 6$ ，则 $A C$ 的长是．

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三、解答题

16.

(1)、解不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} \leq 1 ① \\ 5 x - 1 < 3 (x + 1) ② \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

(2)、阅读某同学解分式方程的具体过程，回答后面问题：
解方程 $\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2 - 4 x}$

解：原方程可化为： $\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2 (2 x - 1)}$     ①

$2 - 2 x - 1 = - 3$             ②

$- 2 x = - 4$              ③

$x = 2$               ④

检验：当 $x = 2$ 时，各分母均不为0，∴ $x = 2$ 是原方程的解．

请回答：

①第②步变形的依据是 ▲ ；

②从第 ▲ 步开始出现了不符合题意，这一步错误的原因是 ▲ ；

③写出正确的求解过程．

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17. 先化简（ $\frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 4}$ ﹣ $\frac{a}{a + 2}$ ）÷ $\frac{a - 1}{a + 2}$ ，再从a≤2的非负整数解中选一个适合的整数代入求值．

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18. 在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．

(1)、将 $△ A B C$ 沿 $x$ 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后得到的 $△ A B_{2} C_{2}$ ，并直接写出点 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ 的坐标；

(3)、在平面内有一动点 $P$ ，使得以 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点 $P$ 的坐标．

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19. 王过酥梨，山西省运城市盐湖区特产，全国农产品地理标志．酥梨果皮光滑，皮质较厚，果肉白色，多汁、味甜、可口，营养丰富．某梨农今年共投入15000元，风调雨顺，酥梨喜获丰收．他了解到酥梨的市场销售信息为：秋季新鲜的酥梨直接销售每千克6元，若将酥梨储存到第二年春天再销售，售价为每千克8元，但重量会减少20%，还需要付冷藏费5000元．

(1)、设该梨农今年收获新鲜酥梨 $x$ 千克，直接销售的利润为 $y_{1}$ 元，储存到第二年春天再销售的利润为 $y_{2}$ 元．请写出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 与 $x$ 之间的关系式．

(2)、帮该梨农计算一下，如何销售可以获得较多利润？

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $A E ⊥ B D$ ， $C F ⊥ B D$ ， $E$ 、 $F$ 分别为垂足， $B E = D F$ ， $A F // C E$ ．试判断四边形 $A B C D$ 形状，并说明理由．

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21. 先阅读下列材料，再解答下列问题：分解因式： ${(a + b)}^{2} - 2 (a + b) + 1$
将：将 $a + b$ 看成整体，设 $M = a + b$ ，则原式 $= M^{2} - 2 M + 1 = {(M - 1)}^{2}$

再将 $M$ 换回去，得原式 $= {(a + b - 1)}^{2}$

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想"是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解：

(1)、 ${(2 a + b)}^{2} - {(a + 2 b)}^{2}$ ；

(2)、 $(a - b - 2) (a - b) + 1$ ．

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22. 跳绳，是一人或众人在一根环摆的绳中做各种跳跃动作的运动游戏．这种游戏唐朝称“透索”，宋称“跳索”，明称“跳百索”，清末以后称作“跳绳”，目前，跳绳已经成为中考体育考试的其中一个项目，某体育用品商店第一次用600元购进一款中考体育专用跳绳，第二次又用750元购进该款跳绳，但这次每根跳绳的进价比第一次多1元，所购进的跳绳数量与第一次相同．

(1)、求第一次每根跳绳进价是多少元？

(2)、若要求这两次购进的跳绳按同一价格全部销售完毕后获利不低于450元，求每根跳绳售价至少是多少元？

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23. 综合与探究

(1)、发现
如图1， $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 在 $B C$ 边上（不与 $A$ ， $B$ 重合），连接 $A D$ ，将 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $A E$ ，连接 $D E$ 、 $C E$ ．

填空：

① $∠ A C E$ 的度数是．

②线段 $C A$ 、 $C E$ 、 $C D$ 之间的数量关系是．

(2)、探究
如图2， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上（不与 $A$ 、 $B$ 重合），连接 $A D$ ，将 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $A E$ ，连接 $D E$ 、 $C E$ ．腾飞学习小组类比问题（1）猜出 $C E + C D = \sqrt{2} C A$ ，请你帮助他们说明理由．

(3)、应用
如图3，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = \frac{13}{2} \sqrt{2}$ ， $∠ B D C = 90 °$ ， $B D = 5$ ，请直接写出 $A D$ 的长．

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