重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列命题不正确的是（）

A、 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $A = B$ C、若 $A$ ， $B$ ， $C$ 成等差数列，则 $B = \frac{π}{3}$ D、若 $a ： b ： c = 1 ： \sqrt{3} ： 2$ ，则 $C = \frac{π}{2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 4 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E是C₁D₁的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{1}{20}$

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4. 下列说法正确的有（）
①回归直线一定过样本点中心 $(\bar{x} ， \bar{y})$ ；

②我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人．为调查学生视力情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人；

③若一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ 的方差为5，则另一组数据 $x_{1} + 1$ ， $x_{2} + 1$ ，…， $x_{n} + 1$ 的方差为6；

④把六进制数 $210_{(6)}$ 转换成十进制数为： $210_{(6)} = 0 \times 6^{0} + 1 \times 6^{1} + 2 \times 6^{2} = 78$ ．

A、①④ B、①② C、③④ D、①③

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5. 北碚区在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $2 a \cos B = b + c$ ，则 ${(\frac{a}{b})}^{2} + \frac{b}{c}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + 2 b + {log}_{2} a + {log}_{2} 2 b = 0$ ，若 $\frac{b}{2^{a}} + \frac{a}{4^{b}} \geq m \cdot a \cdot b$ 恒成立，则正整数 $m$ 的最大值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知 $a$ 为正常数， $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - a x + 1 \begin{matrix} ， & x \geq a \end{matrix} \\ x^{2} - 3 a x + 2 a^{2} + 1 \begin{matrix} ， & x < a \end{matrix} \end{matrix}$ ，若存在 $θ \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，满足 $f (sin θ) = f (cos θ)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ C、 $(1 ， \sqrt{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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二、多选题

9. 若直线 $y = 2 a$ 与函数 $y = | a^{x} - 1 |$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象有两个公共点，则 $a$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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10. 将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ ( $0 < φ < π$ )的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到函数 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 成中心对称 D、函数 $f (x)$ 的一个单调递减区间为 $[- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$

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11. 已知 $a ， b ， c$ 分别是三角形ABC三内角A，B，C的对边，且满足 $(a + c - b) (a + b + c) = a c ， b = \sqrt{3} ，$ 则下列说法正确的是（）

A、 $∠ B = \frac{π}{3}$ B、 $∠ B = \frac{2 π}{3}$ C、△ABC的面积最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、△ABC的面积最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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12. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ，截面 $B D E$ 与直线 $P C$ 平行，与 $P A$ 交于点 $E$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $E$ 为 $P A$ 的中点 B、 $P B$ 与 $C D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ C、 $B D ⊥$ 平面 $P A C$ D、三棱锥 $C - B D E$ 与四棱锥 $P - A B C D$ 的体积之比等于 $1 ： 4$

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三、填空题

13. 已知复数 $ω$ 满足 $ω - 4 = (3 - 2 ω) i$ （ $i$ 为虚数单位）， $z = \frac{5}{ω} + | ω - 2 |$ ．则一个以 $z$ 为根的实系数一元二次方程为．

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14. 在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = \frac{3 π}{4}$ ， $∠ A D C = \frac{π}{4}$ ， $A B ⊥ A D$ ， $C B ⊥ C D$ ，则对角线 $B D$ 的长为．

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15. 欲将一底面半径为 $\sqrt{3} cm$ ，体积为 $3 π {cm}^{3}$ 的圆锥体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相切的模具，如图所示，则打磨成的圆柱体和球体的体积之和的最大值为 ${cm}^{3}$ ．

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16. 小明计划周六去长沙参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95、0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为0.8.则小明能准时到达的概率为；若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为.（结果保留两位小数）

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 \leq 0 ， x \in R ， m \in R}$ ．

(1)、若 $A \cap B = [\begin{matrix} 0 ， 3 \end{matrix}]$ ，求实数m的值；

(2)、若 $A \subseteq ∁_{R} B$ ，求实数m的取值范围．

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a \sin 2 B = \sqrt{3} b \sin A$ .

(1)、求B；

(2)、若 $\cos A = \frac{1}{3}$ ，求sinC的值.

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19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝ $\frac{1}{3}$ AB，AF＝ $\frac{1}{3}$ AD，BG＝ $\frac{2}{3}$ BC，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{E F}$ ， $\vec{E G}$ ；

(2)、若EF⊥EG， $\vec{A B} \cdot \vec{E G} = 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求角A的值.

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A A_{1} = B C = A B = 2$ ， $A B ⊥ B C$ ．

(1)、求四棱锥 $A_{1} - B C C_{1} B_{1}$ 的体积；

(2)、求二面角 $B_{1} - A_{1} C - C_{1}$ 的大小．

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21. 2018年1月22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”.

下表为2014年至2018年观音文化故里某土特产企业的线下销售额（单位：万元）

年份	2014	2015	2016	2017	2018
线下销售额	90	170	210	280	340

为了解“祝福观音、永保平安”活动的支持度.某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查（每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种），其中很支持的老年市民有30人，支持的年轻市民有15人.

(1)、从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率；

(2)、请根据以上信息列出列联表，并判断能否有85%的把握认为支持程度与年龄有关.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

参考数据：

P（K²≥K₀）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
K₀	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

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22. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{h (x) + n}{- 2 h (x) - 2}$ 是奇函数， $h (x)$ 为指数函数且 $h (x)$ 的图象过点 $(2 ， 4)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、若对任意的 $t \in [- 1 ， 1]$ .不等式 $f (t^{2} - 2 a) + f (a t - 1) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若方程 $f (| x^{2} + 3 x |) + f (- a | x - 1 |) = 0$ 恰有2个互异的实数根，求实数 $a$ 的取值集合.

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