陕西省渭南市临渭区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\cos 105 ° - \cos 15 °$ =（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{2}$

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2. 某中学高三年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高一年级有学生1500人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为108的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为（）

A、18 B、36 C、72 D、144

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3. 若 $sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $- \frac{8}{9}$

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4. 在△ $A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 的中点，点 $E$ 满足 $\overset{⇀}{E B} = 4 \overset{⇀}{E C}$ ，则 $\overset{⇀}{E D} =$ （）

A、 $\frac{5}{6} \overset{⇀}{A B} - \frac{4}{3} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{4}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{5}{6} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{5}{6} \overset{⇀}{A B} + \frac{4}{3} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{4}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{5}{6} \overset{⇀}{A C}$

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5. 若tanα= $\frac{3}{4}$ ，则cos²α+2sin2α=（　　）

A、 $\frac{64}{25}$ B、 $\frac{48}{25}$ C、1 D、 $\frac{16}{25}$

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6. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）

A、-2 B、-6 C、-8 D、-12

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7. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 都是单位向量，且 $2 \vec{a} ＝ \vec{b} - \sqrt{3} \vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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8. 某学生在四次模拟考试中，其英语作文的扣分情况如下表，显然所扣分数 $y$ 与模拟考试次数 $x$ 之间具有线性相关关系，其线性回归方程为（）

考试次数 $x$

1

2

3

4

所扣分数 $y$

4.5

4

3

2.5

A、 $y = 0.7 x + 5.25$ B、 $y = - 0.6 x + 5.25$ C、 $y = - 0.7 x + 6.25$ D、 $y = - 0.7 x + 5.25$

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9. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图像如图所示，则 $f (0) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10. 在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，同时从中随机摸取2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11. 如图，已知 $Δ O A B$ ，若点 $C$ 满足 $\overset{⇀}{A C} = 2 \overset{⇀}{C B} ， \overset{⇀}{O C} = λ \overset{⇀}{O A} + μ \overset{⇀}{O B} (λ ， μ \in R)$ ，则 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{9}{2}$

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12. 若将函数 $f (x) = sin (2 x + φ) + \sqrt{3} cos (2 x + φ) （其中 0 < φ < π ）$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，平移后的图象关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称，则函数 $g (x) = cos (x + φ)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{6}]$ 上的最小值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

13. 函数f（x）=sin²2x的最小正周期是.

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14. 若 $cos (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1}{2}$ ，则 $sin 2 θ =$ .

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15. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，且 $| \vec{b} | = 1 ， | 2 \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ，则 $| \overset{⇀}{a} | =$ .

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16. 袋子中有6个大小质地相同的球，其中2个白球，3个黄球和1个黑球，从中随机摸取两个球，则没有摸到黑球的概率为.

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17. 已知 $Q = {(x ， y) | x + y ⩽ 8 ， x ⩾ 0 ， y ⩾ 0 | ， A = {(x ， y) ∣ x ⩽ 2 ， y ⩾ 0 ， 3 x - y ⩾ 0}$ ，若向区域 $Q$ 内随机投1个点 $P$ ，则点 $P$ 落入区域 $A$ 的概率为.

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三、解答题

18. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (m ， 2)$ .

(1)、若 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 共线，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $(2 \vec{a} + \vec{b})$ 与 $\vec{a}$ 垂直，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角.

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19. 下表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量 $x$ (吨)与相应的生产能耗 $y ($ 吨标准煤)的几组对照数据：

$x$

2

4

6

8

10

$y$

5

6

5

9

10

(1)、请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程 $y = b x + a$ ；

(2)、根据（1）求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤.
(附 $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， a = \bar{y} - b \bar{x}$ )

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20.

(1)、已知 $cos (α + \frac{π}{6}) - sin α = \frac{4 \sqrt{3}}{5}$ ，求 $sin (α + \frac{11 π}{6})$ .

(2)、已知 $α ， β$ 为锐角，且 $cos α = \frac{5}{13} ， cos (α + β) = - \frac{4}{5}$ ，求 $cos β$ .

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21. 某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数字，日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人.

(1)、求优秀工人的人数；

(2)、从该车间6名工人中，任选2人，求至少有1名优秀工人被选中的概率.

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22. 已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} sin \frac{x}{4} ， 1) ， \vec{n} = (cos \frac{x}{4} ， {cos}^{2} \frac{x}{4})$ ，记 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， a]$ 上的最大值为 $\frac{3}{2}$ ，求 $a$ 的最小值.

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考试次数 $x$	1	2	3	4
所扣分数 $y$	4.5	4	3	2.5

$x$	2	4	6	8	10
$y$	5	6	5	9	10