青海省西宁市大通回族土族自治县2020-2021学年高一下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-08-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $x^{2} - x + 2 < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $\emptyset$

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2. 有下列事件：
①在标准大气压下，水加热到 $80 ° C$ 时会沸腾；

②实数的绝对值不小于零；

③某彩票中奖的概率为 $\frac{1}{100000}$ ，则买100000张这种彩票一定能中奖．

其中必然事件是（）

A、② B、③ C、①②③ D、②③

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3. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = - 2 n^{2} + 29 n + 3$ ，则此数列最大项的值是

A、103 B、 $\frac{865}{8}$ C、 $\frac{825}{8}$ D、108

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4. 已知一个三角形的三边长分别是2，3，4，如图是用秦九韶算法设计的一个求此三角形面积算法程序框图，则图中所缺的内容是（）

A、 $p = a + b + c$ B、 $p = \frac{a + b + c}{2}$ C、 $p = \frac{1}{3} (a + b + c)$ D、 $p = \frac{1}{4} (a + b + c)$

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，有下列关系式：
① $a \sin B = b \sin A$ ；② $a = b \cos C + c \cos B$ ；③ $b = c \sin A + a \sin C$ ．

其中一定成立的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 将编号为001，002，003，…，500的500个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样的方法抽取样本.若第一组抽取的编号是007，第二组抽取的编号是032，则样本中最大的编号应该是（）

A、475 B、482 C、487 D、492

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7. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y ⩾ 0 \\ x + y + 3 ⩽ 0 \\ x - y - 3 ⩽ 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最小值为（）

A、-3 B、3 C、-4 D、-1

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8. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{n} = a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，且前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{5}}{a_{3}}$ 的值为（）

A、 $\frac{31}{4}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $\frac{15}{4}$ D、 $\frac{31}{2}$

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9. 下列说法不正确的是（）

A、一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互斥 B、掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是 $\frac{1}{2}$ C、若样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{10}$ 的标准差为8，则数据 $2 x_{1} - 1$ ， $2 x_{2} - 1$ ，…， $2 x_{10} - 1$ 的标准差为16 D、取一根3米长的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长都不小于1米的概率是 $\frac{2}{3}$

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10. 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是：取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．如图所示，图1中有0个白色三角形，图2中有1个白色三角形，图3中有4个白色三角形，…，依此类推，可以判断图4中白色小三角形的个数为（）

A、10 B、12 C、13 D、14

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11. 如图，把 $7 m$ 长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足 $3 m$ 的地面上，另一端在沿堤向上 $5m$ 的地方，棒的上端恰好可以与堤的顶端平齐，则该石堤的高（ $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果保留两位小数）为（）

A、4.22m B、4.30m C、4.33m D、4.40m

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12. 有面积相等的四个游戏盘，如果投针落在阴影部分可中奖．小强希望中奖，那么他应选择的游戏盘为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知正数 $a ， b$ 满足 $a = b + \frac{1}{b}$ ，则 $2 b + a$ 的最小值为．

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14. 如图，小明在山脚 $A$ 测得山顶 $D$ 的仰角为45°，在山脚 $B$ 测得山顶 $D$ 的仰角为30°，测得 $∠ A B C = 30 °$ ， $A B = 100 m$ ， $∠ C A B$ 是钝角，已知山脚 $C$ 和 $A$ ， $B$ 在同一水平面上，则山的高度 $C D$ 为 $m$ ．

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15. “关注夕阳、爱老敬老”——某协会从2015年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第 $x$ 年（2015年是第一年）与捐赠的现金 $y$ （万元）的对应数据，由此表中的数据得到了 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.7 x + m$ ，则预测2021年捐赠的现金大约是万元.

$x$

3

4

5

6

$y$

2.5

3

4

4.5

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16. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 b \cos B = \sqrt{2} (a \cos C + c \cos A)$ ， $b = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是．

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三、解答题

17. 根据下列条件，求相应的未知数．

(1)、在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} + a_{5} = 14$ ，前 $n$ 项和 $S_{n} = 100$ ，求公差 $d$ 及项数 $n$ ；

(2)、在等比数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{3} = \frac{3}{2}$ ， $S_{3} = \frac{9}{2}$ ，求 $a_{1}$ 和公比 $q$ ．

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18. 投掷一颗骰子2次，求投出的点数之和为10的概率．

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19. 某企业投资两个新型项目，投资新型项目 $A$ 的投资额 $m$ （单位：十万元）与纯利润 $n$ （单位：万元）的关系式为 $n = 1.7 m - 0.5$ ，投资新型项目 $B$ 的投资额 $x$ （单位：十万元）与纯利润 $y$ （单位：万元）的散点图如图所示．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、若该企业有一笔50万元的资金用于投资 $A$ ， $B$ 两个项目中的一个，为了收益最大化，应投资哪个项目？
附：回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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20. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列，且 $a_{1} + a_{2} = a_{3}$ ， ${b_{n}}$ 是公比为3的等比数列，且 $b_{1} = \frac{1}{2} a_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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21. 新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查. 已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人. 下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：

h

)的频率分布表.

分组	频数	频率
$[6 ， 6.5)$	5	0.10
$[6 ， 5.7)$	$x$	$y$
$[7 ， 7.5)$	7	0.14
$[7.5 ， 8)$	12	0.24
$[8 ， 8.5)$	$z$	0.20
$[8.5 ， 9]$	8	0.16
合计	50	1

(1)、求该校高二学生的总数；

(2)、求频率分布表中实数

x ， y ， z

的值

(3)、已知日睡眠时间在区间

[6 ， 6.5)

内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.

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22. 在 $△ A B C$ 中角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a \sin 2 B + b \sin A = 0$ ，角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ， $B D = 2$ .

(1)、求角 $B$ 的大小.

(2)、证明： $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$ .

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$x$	3	4	5	6
$y$	2.5	3	4	4.5