青海省西宁市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列结论正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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2. 有17名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前8名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道17名同学成绩的（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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3. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = 4$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ， $A = 45 °$ ，则 $B$ 的大小为（）．

A、30° B、60° C、30°或150° D、60°或120°

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4. 数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ，则 $a_{4}$ 等于（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、24 C、48 D、54

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5. 在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与“摸出1个白球1个红球”互斥而不对立的事件是（）

A、至少摸出1个白球 B、至少摸出1个红球 C、摸出2个白球 D、摸出2个白球或摸出2个红球

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6. 某口罩生产工厂为了了解口罩的质量，从500只口罩中取10只进行检验，用随机数表抽取样本，将500只口罩编号为001，002，…，500．下面提供了随机数表第7行至第9行的数据：
82 42 17 53 31    57 24 55 06 88    77 04 74 47 67     21 76 33 50 25    83 92 12 06 76

63 01 63 78 59    16 95 56 67 19    98 10 50 71 75    12 86 73 58 07    44 39 52 38 79

33 21 12 34 29    78 64 56 07 82    52 42 07 44 38    15 51 00 13 42    99 66 02 79 54

若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据，则抽出第4只口罩的编号为（    ）

A、206 B、212 C、217 D、245

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7. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率 $x$ （每分钟鸣叫的次数）与气温 $y$ （单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = 0.25 x + k$ ，则下列说法不正确的是（）

$x$ （次数/分钟）

20

30

40

50

60

$y$ （℃）

25

27.5

29

32.5

36

A、 $k$ 的值是20 B、变量 $x$ ， $y$ 呈正相关关系 C、若 $x$ 的值增加1，则 $y$ 的值约增加0.25 D、当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃

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8. 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上随机地取一个数 $x$ ，则事件“ $x^{2} - x - 2 \leq 0$ ”发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 等差数列 ${a_{n}}$ 公差为 $d$ ，且满足 $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{8}$ 成等比数列，则 $\frac{d}{a_{1}} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、0或 $\frac{1}{2}$ C、2 D、0或2

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $3 b = 2 \sqrt{3} a \sin B$ ， $\cos A = \cos C$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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11. 在 $R$ 上定义运算 $\otimes : x \otimes y = x (1 - y)$ .若不等式 $(x - a) \otimes (x + a) < 1$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $- 1 < a < 1$ B、 $0 < a < 2$ C、 $- \frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$

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12. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 中， $\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}} + \dots + \sqrt{a_{n}} = \frac{n (n + 1)}{2} (n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为（）．

A、 $a_{n} = n$ B、 $a_{n} = n^{2}$ C、 $a_{n} = \frac{n}{2}$ D、 $a_{n} = \frac{n^{2}}{2}$

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二、填空题

13. 若变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq x \\ x + y \leq 2 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则该约束条件组确定的平面区域的面积为．

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14. 设 $A ， B ， C$ 为三个随机事件，若 $A$ 与 $B$ 互斥， $B$ 与 $C$ 对立，且 $P (A) = \frac{1}{4}$ ， $P (C) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (A + B) =$ ．

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15. 设一元二次不等式 $a x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则 $a b$ 的值为

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16. 设正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{7} - S_{5} = 3 (a_{4} + a_{5})$ ，则 $4 a_{3} + \frac{9}{a_{7}}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 某风景区对 $x$ ， $y$ 两个旅游景点一周内的日游客数量（单位：千人）进行了一次调查，统计数据如下茎叶图所示.

(1)、以各组平均数为依据，试比较哪个景点更加吸引游客；

(2)、若 $x$ ， $y$ 两个旅游景点的门票价格分别为20元/人和30元/人，以各景点平均日游客数量估计每日游客数量，预计该风景区在这两景点一个月（30天）的门票收入.

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = - 9$ ， $a_{10} = 5$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 及使得 $S_{n}$ 最小的 $n$ 的值.

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19. 一艘海轮从A出发，沿北偏东 $75 °$ 的方向航行 $(2 \sqrt{3} - 2) n mile$ 到达海岛B ，然后从B出发，沿北偏东 $15 °$ 的方向航行 $4 n mile$ 到达海岛C.

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、如果下次航行直接从A出发到达C ，求 $∠ C A B$ 的大小．

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20. 为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满300元的顾客进行减免，规定每人在装有4个白球，2个红球的抽奖箱中一次抽取两个球．已知抽出1个白球减15元，抽出1个红球减30元．试求某顾客所获得的减免金额为30元的概率．

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21. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a \sin B = b \sin (A + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b ， \frac{\sqrt{3}}{2} a ， c$ 成等差数列， $Δ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ ．

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22. 一批救灾物资随51辆汽车从某市以 $v km/h$ 的速度匀速直达灾区．已知两地公路线长 $400 km$ ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 $\frac{v^{2}}{800} km$ ，那么这批物资全部到达灾区最少需要多长时间？

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$x$ （次数/分钟）	20	30	40	50	60
$y$ （℃）	25	27.5	29	32.5	36