辽宁省锦州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 半径为 $2 cm$ 的圆上的一条弧长为 $6 cm$ ，则此弧所对圆心角的弧度数是（）

A、1.5 B、2 C、3 D、12

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2. 复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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4. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（）

A、8 B、 $2 \sqrt{3} + 2$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， m)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (3 \vec{a} - m \vec{b})$ ，则实数 $m =$ （）

A、-3 B、-1 C、0 D、1

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6. 已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ， $\sin (π - α) = \frac{4}{5}$ ， $\cos (α + β) = \frac{5}{13}$ ，则 $\cos β =$ （）

A、 $\frac{56}{65}$ B、 $\frac{63}{65}$ C、 $- \frac{33}{65}$ D、 $\frac{33}{65}$

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7. 已知点 $A (3 ， 4)$ ，向的 $\vec{O A}$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 后等于 $\vec{O B}$ ，则点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2} ， \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{2})$ B、 $(\frac{4 - 3 \sqrt{3}}{2} ， \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{2})$ C、 $(\frac{3 - 4 \sqrt{3}}{2} ， \frac{4 - 3 \sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{3 - 4 \sqrt{3}}{2} ， \frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2})$

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8. 如图正六边形 $A B C D E F$ 的边长为4，圆 $O$ 的圆心为正六边形的中心，半径为3，若点 $P$ 在正六边形的边上运动， $M N$ 为圆 $O$ 的直径，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是（）

A、 $[3 ， 7]$ B、 $[6 ， 10]$ C、 $[8 ， 12]$ D、 $[12 ， 16]$

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二、多选题

9. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $\bar{z_{1} z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ B、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$ C、 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$ D、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，则 $z_{2} = z_{3}$

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10. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）在一个周期内的图象如图所示，则（）

A、把函数 $y = 2 \sin \frac{2}{3} x$ 图象上的所有点，向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，就可得到该函数的图象 B、把函数 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{3}{2}$ ，就可得到该函数的图象 C、当 $0 < x < 3 π$ 时，函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = 1$ 的所有交点的横坐标之和为 $\frac{7 π}{2}$ D、该函数图象的对称中心为 $(k π - \frac{π}{3} ， 0)$ ， $k \in Z$

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11. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $A + B > \frac{π}{2}$ ，则 $\sin A > \cos B$ C、若 $a = 6$ ， $b = 8$ ， $B = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个 D、若 $A < B$ ，则 $\cos^{2} A > \cos^{2} B$

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12. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C$ ， $△ A B C$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的正三角形， $E$ ， $F$ 分别是 $P A$ ， $A B$ 的中点， $∠ C E F = 90 °$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $P B ⊥ C E$ B、 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成的角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、此三棱锥外接球的体积是 $\sqrt{3} π$ D、此三棱雉的表面积与它的外接球的表面积的比值为 $\frac{3 + \sqrt{3}}{6 π}$

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三、填空题

13. 若复数 $z = 2 - 3 i$ 与其共轭复数在坐标原点为 $O$ 的复平面内所对应的点分别为 $A$ ， $B$ ，则 $△ O A B$ 的面积为.

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14. 写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集 $R$ 的函数 $f (x)$ ：.
①最小正周期为2 ② $f (- x) = f (x)$ ③无零点

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15. 在我国东南沿海地区，几乎每年夏秋两季都会或多或少受到台风的侵袭.所谓的台风，是指一种热带气旋.在气象学上，按世界气象组织定义，气旋中心持续风力在12级到13级（风速在 $32.7 m / s$ 至 $41.4 m / s$ ）的热带气旋称为台风因为台风风力大，并且还会带来暴雨，往往会给经过地区带来较大损失.在某海滨城市A附近海面有一台风正以 $16 km / h$ 的速度向西北方向移动，据监测，台风中心B在该城市正东 $40 km$ 处，台风半径为 $30 km$ ，台风侵袭的范围为距台风中心 $30 km$ 圆形区域，则城市A受该台风影响的持续时间为小时.

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16. 已知点 $E$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 内（含边界）， $F$ 是 $A A_{1}$ 的中点， $D_{1} E ⊥ C F$ ，则 $\tan ∠ B C E$ 的最大值为；最小值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = 3$ ， $△ A B C$ 的面积是 $3 \sqrt{3}$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，回答下列问题.条件① $a \sin C = c \sin (A + \frac{π}{3})$ ；条件② $2 c \cos A = a \cos B + b \cos A$ .

(1)、求角A；

(2)、求 $a$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6}) + 4 \cos^{2} x$ （ $x \in R$ ）.

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

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19. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1}$ ， $D ， E ， F$ 分别是 $B C ， B B_{1} ， A A_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $C F //$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求证： $B C_{1} ⊥$ 平面 $A D E$ ．

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20. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为单位向量，满足 $| 3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} | \leq \sqrt{5}$ ， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ .

(1)、求 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}}$ 的取值范围；

(2)、求 $\cos^{2} θ$ 的最小值.

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21. 为进一步增强全市中小学学生和家长的防溺水安全意识，特在全市开展“防洲水安全教育”主题宣传活动.该市水利部门在水塘等危险水域设置警示标志，警示标志如下图所示.其中四边形 $A B C D$ ，四边形 $A E F G$ ，四边形 $G M N D$ 均为正方形，且 $A B = \sqrt{2}$ ， $A E = 1$ ，其中 $A M$ ， $A N$ 为加强支撑管.

(1)、若 $A G ⊥ A D$ ，求 $A$ 到地面的距离；

(2)、若记 $∠ G A D = θ$ （ $0 < θ < π$ ）， $A N = f (θ)$ .
①求 $f (θ)$ 的解析式；

②求支撑管 $A N$ 最长为多少？并求此时的角 $θ$ .

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