辽宁省丹东市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $\frac{i}{1 - i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知向量 $\vec{a} = (\cos θ ， \sin θ)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\tan (θ + \frac{π}{4}) =$ （）

A、-3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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3. 用与球心距离为1的平面去截球 $O$ ，所得截面面积为 $π$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $4π$ D、 $8π$

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4. 下列命题正确的是（）

A、如果直线m平行于直线n，则m平行于经过n的任何一个平面 B、如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行 C、过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D、如果一条直线与一个平面平行，则它与该平面内的任何直线都平行

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5. 若 $z = 1 - i$ ，则 $| z \cdot \bar{z} - 2 z | =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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6. 在 $△ A B C$ 中， $\cos A + \sin A = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $\cos A - \sin A =$ （）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\pm \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别棱 $B_{1} C_{1}$ ， $D_{1} C_{1}$ 的中点，若 $A B = 2$ ，则棱台 $M N C_{1} - B D C$ 的体积为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{17}{3}$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ， $A B = 4$ ，则 $| 4 \vec{C B} - \vec{A B} |$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系中，集合 ${α | α = \frac{2 k π}{3} ， k \in Z}$ 中的元素所表示角的终边不会出现在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10. 以下的A，B，C，D四个结论对于任意非零实数 $a$ ， $b$ 都成立，那么对于任意非零复数 $a$ ， $b$ 仍然成立的是（）

A、 $a + \frac{1}{a} \neq 0$ B、若 $a^{2} = a b$ ，则 $a = b$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 ${| a |}^{2} = a^{2}$

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11. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $C = 75 °$ ， $a = 2 b \cos B$ ，则 $A$ 的可能取值为（）

A、30° B、35° C、45° D、70°

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12. 将函数 $y = \sin x$ 的图像向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位，再将所得图像上所有点的橫坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $y = f (x)$ 的图像，那么（）

A、 $f (x) = \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ B、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的2个零点，则 $x_{1} - x_{2} = \frac{k π}{2}$ ， $k \in Z$ C、函数 $y = f (x) - 0.9$ 在 $(- π，π)$ 内有4个零点 D、若 $f (x + φ)$ 是奇函数，则 $| φ |$ 的最小值为 $\frac{π}{6}$

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三、填空题

13. 圆锥的轴截面是正三角形，则其侧面积是底面积的倍．

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14. 写出一个最小正周期为1的偶函数 $f (x) =$ ．

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15. 已知单位向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \sqrt{2} \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 =$ ．

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16. 中国古代的数学具有很高水平，宋代数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，是据三角形三边长度计算三角形面积的算法：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．也就是说：若 $△ A B C$ 的三边长度分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则 $△ A B C$ 的面积 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{①}{2})}^{2}]}$ ．那么“三斜求积术”的这个公式中的①处应该填写的式子是．（用关于 $a$ ， $b$ ， $c$ 的式子表示）

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四、解答题

17. 设函数 $f (x) = \cos (x - 2 π) \sin (x + π) \tan x + \cos (- x) \sin (x + \frac{π}{2})$ ．

(1)、化简 $f (x)$ ；

(2)、若 $\tan α = 2$ ，求 $f (α)$ 值．

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18. 如图，为了测量两山顶 $M$ ， $N$ 之间的距离，飞机沿水平方向 $A$ ， $B$ 两点进行测量，已知 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 在同一个铅锤平面内（如图所示）．已知在点 $A$ 处测得山项 $M$ ， $N$ 的俯角分别为75°，30°，点 $B$ 处测得山顶 $M$ ， $N$ 的俯角为45°，60°．已知 $A B = 100 \sqrt{3} m$ ．求两山顶点 $M$ ， $N$ 之间的距离 $M N$ ．

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19. 如图，正四面体 $A - B C D$ 棱长为6．

(1)、求正四面体 $A - B C D$ 的体积；

(2)、若 $P$ 是侧面 $A C D$ 内的一点，过点 $P$ 作一个截面 $α$ ，使得 $A B$ 与 $C D$ 都与截面 $α$ 平行，作出截面 $α$ 与正四面体 $A - B C D$ 各面的交线，并写出作法．

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos x \sin x + \sin^{2} x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， m]$ 上的最大值为 $\frac{3}{2}$ ，求 $m$ 的最小值．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $A D = 5$ ， $∠ D A B = ∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点．

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A E$ ；

(2)、已知二面角 $P - C D - A$ 的平面角的余弦为 $\frac{2}{3}$ ，求 $P D$ 与平面 $P A E$ 所成角的正弦值．

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22. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $\sin (B + C) = 2 \sqrt{2} \sin^{2} \frac{A}{2}$ ．

(1)、求 $\cos A$ ；

(2)、点 $D$ 在平面 $A B C$ 内， $D$ 与 $A$ 在直线 $B C$ 两侧，若 $A D = c = 3 b$ ， $∠ B D C = 90 °$ ，求 $\tan ∠ D B C$ ．

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