河南省焦作市普通高中2021-2022学年高一下学期（新高二）数学定位考试试卷

试卷更新日期：2021-08-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | x - 4 > 0}$ ， $N = {x | x^{2} - 7 x + 6 > 0}$ ，则 $M \cap ∁_{R} N =$ （）

A、 ${x | 4 < x \leq 6}$ B、 ${x | 1 \leq x < 4}$ C、 ${x | x > 6}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 6}$

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2. $\sin 300^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知 $b \in [- 3 ， 3]$ ，则坐标原点 $O$ 到直线 $x + y = b$ 的距离小于 $\sqrt{2}$ 的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 已知 $a = \log_{4} \frac{1}{5}$ ， $b = {(\frac{1}{5})}^{\frac{1}{3}}$ ， $c = 3^{0.6}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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5. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆的一部分，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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6. 某健康研究机构调查了100位居民的日平均睡眠时间（单位：时），统计数据制成频率分布直方图，如图所示，则估计这100位居民的日平均睡眠时间的中位数约为（）

A、6.7 B、6.8 C、6.9 D、7

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7. 已知 $α \in (\frac{3 π}{4} ， π)$ ，且 $\sin α \cos α = - \frac{2}{5}$ ， $\tan (α + β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan β =$ （）

A、1 B、7 C、1或7 D、2或6

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8. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $m =$ （）

A、10 B、12 C、14 D、16

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9. 如图所示， $P$ 是 $▱ A B C D$ 内任意一点， $▱ A B C D$ 的对角线交于点 $E$ ，则 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P D} - 4 \vec{P E} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{C E}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{C P}$ C、 $\vec{C E}$ D、 $\vec{C P}$

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10. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $E$ 是 $P C$ 的中点，若在棱 $P D$ 上存在一点 $F$ ，使得 $B E / /$ 平面 $A C F$ ，则 $\frac{P F}{F D} =$ （）

A、3 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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11. 已知函数 $f (x) = \log_{3} \frac{a x + 6}{x + 3}$ 在区间 $(- 3 ， 3]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 2)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(1 ， \frac{5}{2})$

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12. 如图所示， $B$ 、 $D$ 为函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象与正六边形的两个公共点（点 $B$ 在 $x$ 轴上），正六边形与 $y$ 轴的一个交点为 $M$ ， $f (x)$ 的图象与 $y$ 轴的交点为 $N$ ，其中正六边形关于坐标轴对称，且边长为 $\frac{π}{3}$ ，则下列结论中正确的个数为（）
①函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；②函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{11 π}{12}$ 对称；

③函数 $f (x)$ 的单调增区间为 $[- \frac{5 π}{12} + k π ， \frac{π}{12} + k π]$ ， $k \in Z$ ；④ $\frac{| M N |}{| M D |} = 2 \sqrt{3} - 3$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知直线 $l_{1}$ ： $y = (2 a^{2} - 1) x - 2$ 与直线 $l_{2}$ ： $y = 7 x + a$ 平行，则 $a =$ ．

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14. 某单位年龄（单位：岁）在 $[20 ， 30)$ 的员工有40人，年龄在 $[30 ， 50)$ 的员工有60人，年龄在 $[50 ， 60)$ 的员工有20人．现准备用分层抽样的方法从这些员工中选拔18人代表单位参加技术比武活动，则选拔出的员工中，年龄小于50岁的员工人数为．

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15. 某汽车制造厂生产一款新的汽车，今年前5个月的产量如下：

月份 $x$

1

2

3

4

5

汽车产量 $y$ （千辆）

2

$m$

5

7

8

若根据表中提供的数据，求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 1.6 x + 0.2$ ，那么表中 $m$ 的值为．

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16. 如图所示，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，若 $C O = \sqrt{6}$ ， $\vec{C A} = λ \vec{C D} + (2 - λ) \vec{C B}$ （ $λ$ 为常数），则 $D O =$ ．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a^{x} + \frac{b - 1}{a^{x}} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是奇函数．

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、令函数 $g (x) = f (x) - a^{x} - 1$ ，若关于 $x$ 的方程 $g (x) = \frac{t + 2}{t + 3}$ 在 $R$ 上有解，求实数 $t$ 的取值范围．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{c} = λ \vec{a} + \vec{b} (λ \neq 0)$ ，且 $| \vec{c} | = \sqrt{5}$ ．

(1)、求实数 $λ$ 的值；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 夹角的余弦值．

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19. 为了回馈消费者，某商场准备在假期举行优惠活动，据统计，消费者在该商场的消费金额都不超过800元，活动策划人员准备了两种优惠方案．

方案一：消费金额满300元减50元，满600元减120元，只取最高优惠，不重复减免；

方案二：消费金额满400元享受8折优惠．

活动策划人员从电脑中存储的最近的消费记录中随机抽取了100位消费者的消费金额（单位：元），整理得到如下频数分布表：

消费金额（元）	$(0 ， 100)$	$[100 ， 200)$	$[200 ， 300)$	$[300 ， 400)$	$[400 ， 500)$	$[500 ， 600)$	$[600 ， 700)$	$[700 ， 800)$
频数	8	14	22	20	12	10	8	6

(1)、分别估计两种方案下消费者参与优惠活动的概率；

(2)、在消费金额的频数分布表中取每组中间值作为代表，从全部消费者享受的优惠平均值角度分析哪种方案的优惠力度更大．

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20. 已知方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = 2 \\ x + 3 y = 1 \end{array}$ ，其中 $a$ ， $b$ 的值从集合 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ 中随机取得．

(1)、求该方程组无解的概率；

(2)、求该方程组仅有一组解，且该解对应的点在第四象限的概率．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \sin (x + \frac{π}{6}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值及此时 $x$ 的取值集合；

(2)、若函数 $g (x) = f (x + \frac{π}{12}) - \frac{\sqrt{3}}{2} - a$ 在 $x \in [0 ， \frac{3 π}{4}]$ 时有2个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知圆 $C$ 经过坐标原点 $O$ ，圆心在 $x$ 轴正半轴上，且与直线 $3 x + 4 y - 8 = 0$ 相切．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程．

(2)、直线 $l$ ： $y = k x + 2$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．
（i）求 $k$ 的取值范围；

（ii）证明：直线 $O A$ 与直线 $O B$ 的斜率之和为定值．

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月份 $x$	1	2	3	4	5
汽车产量 $y$ （千辆）	2	$m$	5	7	8