2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷·A卷

试卷更新日期：2021-07-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $x \in R,$ 则“ $x^{2} - 5 x > 0$ ”是“ $| x - 1 | > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 在古印度的数学著作《丽拉沃蒂》中，有这样一个问题：某人给一个人布施，初日施3德拉玛(古印度货币单位)，其后日增2德拉玛，共布施360德拉玛，请快告诉我，他布施了几日？这个问题的答案是（）

A、9 B、18 C、20 D、24

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3. 将函数 $f (x) = - \cos 2 x$ 的图象沿 $x$ 轴向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的一个极值点可能为（）

A、 $x = \frac{π}{4}$ B、 $x = \frac{3 π}{8}$ C、 $x = π$ D、 $x = \frac{5}{8} π$

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4. 黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体得比值等于较小部分与较大部分得比值，该比值为 $m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比例得值还可以近似地表示为 $2 \sin 18^{\circ}$ ，则 $\frac{\sqrt{3} \sin 12^{\circ} + m}{\cos 12^{\circ}}$ 的近似值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\sqrt{3}$

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5. 北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（）

A、 $\frac{10}{21}$ B、 $\frac{11}{21}$ C、 $\frac{11}{42}$ D、 $\frac{5}{21}$

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6. 设 $5^{a} = 24$ ， $b = \log {}_{3}1 0$ ， $c = - \log {}_{\frac{1}{3}}1 1$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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7. 关于函数 $f (x) = (x^{2} + a x - 1) e^{x}$ ，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为 $- 1$ ；②函数的极值点不可能是 $- 1$ ；③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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8. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 $A$ ，直线 $A F_{1}$ 与双曲线的左支交于点 $B$ ，且 $| A B | = | A F_{2} |$ ，设双曲线的离心率为 $e$ ，则 $e^{2} =$ （）

A、 $3 + 3 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $5 + 3 \sqrt{2}$ D、 $5 + 2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）．

A、若事件A，B发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ B、将两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学恰好相邻的概率为 $\frac{1}{2}$ C、若随机变量 $ξ \sim N (2 ， σ^{2})$ ， $P (ξ \geq 4) = 0.18$ ，则 $P (0 \leq ξ \leq 2) = 0.64$ D、若随机变量 $η \sim B (8 ， \frac{3}{4})$ ，则 $E (η) = 6$ ， $D (η) = 1.5$

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10. 已知声音是由物体振动产生的声波．其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数 $y = A \sin ω t$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 $f (x) = 2 \sin x - \sin 3 x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有7个零点 C、 $f (x)$ 的最大值为3 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数

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11. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，其前 $q$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且满足 $a_{1} > 1$ ， $a_{2020} \cdot a_{2021} > 1$ ， $(a_{2020} - 1) \cdot (a_{2021} - 1) < 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $0 < q < 1$ B、 $S_{2020} + 1 < S_{2021}$ C、 $T_{2020}$ 是数列 ${T_{n}}$ 中的最大项 D、 $T_{2021} > 1$

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12. 已知抛物线 $y^{2} = m x (m > 0)$ 焦点与双曲线点 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的一个焦点重合，点 $P (2 ， y_{0})$ 在抛物线上，则（）

A、双曲线的离心率为2 B、双曲线的渐近线为 $y = \pm 3 x$ C、 $m = 8$ D、点 $P$ 到抛物线焦点的距离为6

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {x | x > 0}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 1}$ ，则 $A \cap B$ = ．

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14. i是虚数单位，若复数 $(1 - 2 i) (a + i)$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为.

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15. 已知 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式中二项式系数之和是256，则 $n =$ ；展开式中的常数项是．

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16. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 $2^{0}$ ，接下来的两项是 $2^{0}$ ， $2^{1}$ ，再接下来的三项是 $2^{0}$ ， $2^{1}$ ， $2^{2}$ ，依此类推，若该数列的前n项和为2的整数幂，如 $S_{1} = 2^{0}$ ， $S_{2} = 2^{1}$ ， $S_{3} = 2^{2}$ ，则称 $S_{n} = 2^{k}$ ， $k \in N$ ， $n \in N^{*}$ 中的 $(n, k)$ 为“一对佳数”，当 $n \geq 100$ 时，首次出现的“一对佳数”是.

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四、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，已知 $P A = A C =2$ ， $∠ P A D = ∠ D A C = 60^{°}$ ， $C E ⊥ A D$ 与 $E$ .

(1)、求证： $A D ⊥ P C$ ；

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D =3$ ，求二面角 $C - P D - A$ 的余弦值.

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18. 为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为2：3，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有20名对讲座活动不满意．

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

$p (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、完成

2 \times 2

列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；

	满意	不满意	合计
男生
女生
合计			100

(2)、从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率．

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19. 在① $S_{n} = n^{2}$ ；② $a_{2} = 3$ ， $S_{7} = 49$ ；③ $S_{5} - S_{3} = 16$ ， $S_{2} = 4$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
已知等差数列 ${a {}_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，且满足_______，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} = 2 b_{n} - 2$

(1)、求数列 ${a {}_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $R_{n}$ ．

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20. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $P (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆E上.

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、经过椭圆E的左焦点 $F_{1}$ 作斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 交椭圆E于A，B，直线 $l_{2}$ 交椭圆E于C，D，G，H分别是线段AB，CD的中点，求 $△ G H F_{2}$ 面积的最大值.

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21. 已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a ， b)$ 为函数 $f (x)$ 的相伴特征向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的相伴函数.

(1)、设函数 $g (x) = \sin (x + \frac{5 π}{6}) - \sin (\frac{3 π}{2} - x)$ ，试求 $g (x)$ 的相伴特征向量 $\vec{O M}$ ；

(2)、记向量 $\vec{O N} = (1 ， \sqrt{3})$ 的相伴函数为 $f (x)$ ，求当 $f (x) = \frac{8}{5}$ 且 $x \in (- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ ， $\sin x$ 的值；

(3)、已知 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (2 ， 6)$ ， $\vec{O T} = (- \sqrt{3} ， 1)$ 为 $h (x) = m \sin (x - \frac{π}{6})$ 的相伴特征向量， $φ (x) = h (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ，请问在 $y = φ (x)$ 的图象上是否存在一点P，使得 $\vec{A P} ⊥ \vec{B P}$ .若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + {ax}^{2}$ ， $g (x) = e^{ax} \ln x + ax$ ．

(1)、讨论函数 $h (x) = f (x) + (a + 2) x$ 的单调区间；

(2)、是否存在正数 $a$ 使得关于 $x$ 的方程 $f (x) - g (x) = 0$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上恰有两个不等实数根？如果有，求出 $a$ 的取值范围；如果没有，请说明理由．

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