天津市静海区三校联考2020-2021学年高二上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-07-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (3, - 2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4, 0)$ ，则 $4 \vec{a} + 2 \vec{b}$ 等于（）

A、 $(16, 0, 4)$ B、 $(8, - 16, 4)$ C、 $(8, 16, 4)$ D、 $(8, 0, 4)$

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2. 已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 5$ ，则 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a}$ 等于（）

A、12 B、 $8 + \sqrt{3}$ C、4 D、13

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3. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (0 ， 2 ， 1) ， \overset{⇀}{b} = (- 1 ， 1 ， - 2)$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为（　　）

A、 $0^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $90^{\circ}$ D、 $180^{\circ}$

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4. 已知空间向量 $\vec{a} = (3 ，$ 1， $0)$ ， $\vec{b} = (x ， - 3 ， 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = ($ $)$

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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5. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，B₁E₁＝ $\frac{1}{4}$ A₁B₁ ，则 $\vec{B E_{1}}$ 等于（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4} ， - 1)$ B、 $(- \frac{1}{4} ， 0 ， 1)$ C、 $(0 ， - \frac{1}{4} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{4} ， 0 ， - 1)$

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6. 直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3}$ 的倾斜角为（）

A、90° B、30° C、0° D、180°

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7. 若经过两点 $A (4 ， 2 y + 1)$ 、 $B (2 ， - 3)$ 的直线的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则 $y$ 等于（）

A、 $- 1$ B、 $2$ C、 $0$ D、 $- 3$

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8. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, - \frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 3, λ, - \frac{15}{2})$ 满足 $\overset{⇀}{a} // \overset{⇀}{b}$ ，则 $λ$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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9. 在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D — A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 是底面 $A B C D$ 的中点， $E$ ， $F$ 分别是 $C C_{1}$ ， $A D$ 的中点，那么异面直线 $O E$ 和 $F D_{1}$ 所成的角的余弦值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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10. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量，它们的夹角为 $60 °$ ，那么 $| \vec{a} - 3 \vec{b} |$ 等于（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{13}$ D、4

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二、填空题

11. 若向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 ， 1)$ ， $\vec{c} = (1 ， 1 ， 1)$ ，则 $(\vec{c} - 2 \vec{a}) \cdot (2 \vec{b}) =$ ．

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12. 若已知 $| \vec{a} | = 5$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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13. 经过点 $A (2, 3)$ ， $B (1, - 1)$ 两点的直线的斜率为.

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14. 已知平面 $α$ 和平面 $β$ 的法向量分别为 $\vec{a} = (1, 1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, - 2, 3)$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $x =$ .

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15. 过点 $M (1, 0)$ 倾斜角为 $45 °$ 的直线方程为.

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16. 棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $D D_{1}$ 与平面 $A B D_{1}$ 所成角为.

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17. 棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $B D_{1}$ 的中点，则 $C E$ 的长为.

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三、解答题

18. 根据条件，求出下列直线的方程：

(1)、经过点 $A (1, 2)$ 倾斜角为 $45 °$ ；

(2)、经过点 $A (0, 5)$ ， $B (5, 0)$ .

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = C B = 2$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ，且 $A C ⊥ C B$ ， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $E$ 为 $A B$ 中点，点 $P$ 为 $B_{1} B$ 上一点.

(1)、求证： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} C E$ ；

(2)、求平面 $A_{1} C E$ 与平面 $C E B$ 夹角的余弦值.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B // D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明 $B E ⊥ D C$

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $F$ 为棱 $P C$ 上一点，满足 $B F ⊥ A C$ ，求平面 $F A B$ 与平面 $A B P$ 夹角的余弦值.

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