山西省运城市高中联合体2020-2021学年高二上学期理数12月调研测试试卷

试卷更新日期：2021-07-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in R ， e^{x} - x > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R ， e^{x} - x < 0$ B、 $\forall x \in R ， e^{x} - x \leq 0$ C、 $\exists x_{0} \in R ， e^{x_{0}} - x_{0} > 0$ D、 $\exists x_{0} \in R ， e^{x_{0}} - x_{0} \leq 0$

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2. 已知直线x-2y+2=0与直线2x+my-3=0互相垂直，则m=（）

A、-1 B、1 C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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3. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率为2，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、y=±3x

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4. 设 $α ， β$ 表示两个不同平面， $m$ 表示一条直线，下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $α / / β$ ，则 $m / / β$ B、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，椭圆上一点 $M$ 到 $F_{1}$ 的距离为4， $N$ 为 $M F_{2}$ 的中点，则 $O N$ （ $O$ 为坐标原点）的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3} ， - \sqrt{5})$ ，则下列向量中与 $\vec{a}$ 同向的单位向量的坐标是（）

A、 $(\frac{1}{3} ， - \frac{\sqrt{3}}{3} ， - \frac{\sqrt{5}}{3})$ B、 $(- \frac{1}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3} ， - \frac{\sqrt{5}}{3})$ C、 $(\frac{1}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3} ， - \frac{\sqrt{5}}{3})$ D、 $(\frac{1}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{5}}{3})$

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7. “k=1"是"直线y=kx-2与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 相切”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 若圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 11 = 0$ 被直线3x-4y+c=0所截的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ，则c的值是（）

A、6 B、-6或-16 C、-1或-21 D、1

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9. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中两个顶点间的距离最大值为（）

A、 $\sqrt{6 + 2 \sqrt{3}}$ B、 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{2}}$ C、 $4$ D、 $3$

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10. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形 $A B C D$ 为矩形， $E F // A B$ ，若 $A B = 3 E F$ ， $△ A D E$ 和 $△ B C F$ 都是正三角形，且 $A D = 2 E F$ ，则异面直线 $D E$ 与 $B F$ 所成角点的大小为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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11. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E ， F$ 分别是棱 $A D ， B_{1} C_{1}$ 上的中点.若点 $P$ 为侧面正方形 $A D D_{1} A_{1}$ 内（含边）动点，且存在 $x ， y \in R$ 使 $\vec{B_{1} P} = x \vec{B E} + y \vec{B F}$ 成立，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{π}{2}$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线 $l ： \sqrt{3} x - y = 0$ 与椭圆相交于A､B两点.若 $| A F | + | B F | = 4$ ，点P到直线l的距离不小于 $\frac{3}{5}$ ，则椭圆C离心率的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3}]$ B、 $(0 ， \frac{3}{5}]$ C、 $(\frac{1}{3} ， \frac{4}{5}]$ D、 $(0 ， \frac{4}{5}]$

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二、填空题

13. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 与双曲线 $x^{2} - 8 y^{2} = 8$ 的焦点相同，则m的值为.

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14. 已知直线 $l_{1} ： a x + y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 2 x - y - 4 = 0$ 平行，则两平行直线间的距离为.

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15. 若圆 $O_{1} ： {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ 和圆 $O_{2} ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (0 < r < 5)$ 相切，则r=.

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16. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $D$ 是 $A B$ 上一点，且 $A D = 2 D B$ ， $E$ 是 $A A_{1}$ 的中点， $F$ 是 $C C_{1}$ 上一点，当 $C F = 1$ 时， $B F //$ 平面 $C D E$ ，则三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 已知命题：“ $\forall x \geq 2$ ，不等式 $x^{2} - x - m > 0$ ”是真命题.

(1)、求实数 $m$ 的取值集合 $B$ ；

(2)、设不等式 $(x - a) (x - a - 1) < 0$ 的解集为 $A$ ，若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦点为(2，0)，(-2，0)，实轴长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若直线l：y=kx+1与双曲线C恒有两个不同的交点A ， B ，求k的取值范围.

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19. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD ，点F为PD的中点，AC与BD交于点O.

(1)、求证：OF//平面PAB；

(2)、求证：平面PBD⊥平面PAC.

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20. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，点 $P$ 在直线 $l ： 3 x + y - 8 = 0$ 上，过点 $P$ 作圆 $O$ 的两条切线， $A$ 、 $B$ 为切点.

(1)、若 $P$ 点横坐标为 $2$ ，求直线 $A B$ 的方程；

(2)、求切线长 $P A$ 的最小值，及此时点 $P$ 的坐标.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $M (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆C的两个焦点， $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A ， B$ .其中 $A$ 为椭圆的左顶点，点 $Q (0 ， y_{0})$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上，且 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B} = 0$ ，求 $y_{0}$ 的值.

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22. 如图，四边形 $M A B C$ 中， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 ° ， △ M A C$ 是边长为2的正三角形，以 $A C$ 为折痕，将 $△ M A C$ 向一方折叠到 $△ D A C$ 的位置，使D点在平面 $A B C$ 内的射影在 $A B$ 上，再将 $△ M A C$ 向另一方折叠到 $△ E A C$ 的位置，使平面 $E A C ⊥$ 平面 $A B C$ ，形成几何体 $D A B C E$ .

(1)、若点F为 $B C$ 的中点，求证： $D F //$ 平面 $E A C$ ；

(2)、求平面 $A C D$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值.

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