山西省八校联考2020-2021学年高二上学期理数12月月考试卷

试卷更新日期：2021-07-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列说法正确的是（）

A、棱柱的各个侧面都是平行四边形 B、底面是矩形的四棱柱是长方体 C、有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 D、直角三角形绕其一边所在直线旋转一周形成的几何体是圆锥

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2. 直线3x+ $\sqrt{3}$ y+1=0的倾斜角是（　　）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $12 π$ B、 $18 π$ C、 $24 π$ D、 $36 π$

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4. 已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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5. 设 $l, m$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不重合的平面，则下列结论正确的个数为（    ）
①若 $l ⊥ α, m ⊥ α,$ 则 $l / / m$                 ②若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ, α \cap β = l,$ 则 $l ⊥ γ$

③若 $m / / α, m / / β, α \cap β = l,$ 则 $m / / l$       ④若 $l ⊥ m, m ⊥ α,$ 则 $l / / α$

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 直线 $m x - y - m + 2 = 0$ 过定点A，若直线 $l$ 过点A且与 $2 x + y - 2 = 0$ 平行，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $2 x + y - 4 = 0$ B、 $2 x + y + 4 = 0$ C、 $x - 2 y + 3 = 0$ D、 $x - 2 y - 3 = 0$

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7. 如图，在下列四个正方体图形中， $A ， B$ 为正方体的两个顶点， $M ， N ， P$ 分别为其所在棱的中点，能得出 $A B / /$ 平面 $M N P$ 的图形是（）

A、①④ B、③④ C、④ D、①②④

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8. 设点 $A (- 2 ， 3) ， B (3 ， 2)$ ，若直线 $a x + y + 2 = 0$ 与线段 $A B$ 没有交点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{5}{2}) \cup (\frac{4}{3} ， + \infty)$ B、 $(- \frac{4}{3} ， \frac{5}{2})$ C、 $[- \frac{5}{2} ， \frac{4}{3}]$ D、 $(- \infty ， - \frac{4}{3}) \cup (\frac{5}{2} ， + \infty)$

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9. 如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是（）

A、60° B、45° C、90° D、30°

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10. 已知圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ ，直线 $l ： y = k x - 2$ ，若直线 $l$ 上存在点 $P$ ，过点 $P$ 引圆的两条切线 $l_{1} ， l_{2}$ ，使得 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $k$ 的取值范围是

A、 $[0 ， 2 - \sqrt{3}) \cup (2 + \sqrt{3} ， + \infty)$ B、[ $2 - \sqrt{3}$ ， $2 + \sqrt{3}$ ] C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $[0 ， + \infty$ ）

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11. 已知F_1，F₂是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过右焦点F₂的直线l与椭圆交于A ， B两点，且满足 $\vec{A F_{2}} = 2 \vec{F_{2} B} ， | \vec{F_{1} B} | = | \vec{A B} | ，$ 则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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12. 在边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $B D = 2 \sqrt{3}$ ，将菱形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起，使二面角 $B - A C - D$ 的大小为 $60^{\circ}$ ，则所得三棱锥 $A - B C D$ 的外接球表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $\frac{52}{9} π$ C、 $6 π$ D、 $\frac{20}{3} π$

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二、填空题

13. 已知直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则实数a＝．

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14. 已知 $p ： | m + 1 | < 1 ， q ：$ 幂函数 $y = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $p$ 是 $q$ 的条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

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15. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等， $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 内的射影为 $△ A B C$ 的中心，则 $A B_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角的正弦值等于．

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16. 过椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点 $M$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 的两条切线，切点为 $A ， B$ ，过 $A ， B$ 的直线与 $x$ 轴和 $y$ 轴分别交于 $P ， Q$ ，则 $△ P O Q$ 面积的最小值为.

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三、解答题

17. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E ， F$ 分别为 $A D_{1} ， C D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B C D$ .

(2)、求异面直线 $E F$ 与 $B_{1} C_{1}$ 所成角的大小.

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18. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (4 ， 0)$ ， $B (0 ， - 2)$ ， $C (- 2 ， 1)$ ．

(1)、求 $A B$ 边上的高 $C D$ 所在直线的方程；

(2)、求过点 $C$ 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

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19. 已知 $a > 0$ ，命题 $p$ ： $\forall x > 0$ ， $x + \frac{a}{x} \geq 2$ 恒成立，命题 $q$ ： $\forall k \in R$ ，直线 $k x - y + 2 = 0$ 与椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ 有公共点，求使得 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题的实数 $a$ 的取值范围．

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20. 已知圆 $C$ 经过点 $A (2 ， - 1)$ ，和直线 $x + y = 1$ 相切，且圆心在直线 $y = - 2 x$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l$ 经过点 $(0 ， 3)$ ，并且被圆 $C$ 截得的弦长为2，求直线 $l$ 的方程.

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21. 如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ C D$ ，面 $C D E F$ 是菱形， $∠ D C F = 60^{°}$ ， $C D = 2 A D = 2 A B$ ， $A E = \sqrt{5} A D$ .

(1)、证明： $C E ⊥ A F$ ；

(2)、已知点 $P$ 在线段 $B C$ 上，且 $C P = λ C B$ ，若二面角 $A - D F - P$ 的大小为 $60^{°}$ ，求实数 $λ$ 的值.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $l ： x - y + \sqrt{2} = 0$ 与以原点为圆心，椭圆 $C$ 的短半轴长为半径的圆相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ 是椭圆的上顶点，过点 $M$ 分别作直线 $M A ， M B$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点，设两直线的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 4$ ，证明直线 $A B$ 过定点，并求出此定点的坐标.

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