山东省烟台市福山区2021年中考数学4月模拟试卷

试卷更新日期：2021-07-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列实数中，分数是（）

A、π B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt[3]{\frac{9}{8}}$ D、－1.2

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2. 下列窗花图案中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若关于x的分式方程 $\frac{6}{x - 2} - 1 = \frac{a x}{2 - x}$ 有增根，则a的值为（）

A、−3 B、3 C、2 D、 $- \frac{7}{2}$

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5. 小亮要计算一组数据80，82，74，86，79的方差 $s_{1}^{2}$ ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去80，得到一组新数据0，2，-6，6，-1，记这组新数据的方差为 $s_{2}^{2}$ ，则 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小关系为（）

A、 $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ B、 $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ C、 $s_{1}^{2} = s_{2}^{2}$ D、无法确定

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6. 关于x的一元二次方程 $(k + 3) x^{2} + 5 x + k^{2} + 2 k - 3 = 0$ 的一个根是0，则 $k$ 的值是（）

A、−3或1 B、1 C、−3 D、 $- 1$

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7. 如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C ，交AB于点D ．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（）

A、20° B、30° C、40° D、50°

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8. 如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：①作线段 $A B$ ，分别以 $A$ ， $B$ 为圆心，以 $A B$ 长为半径作弧，两弧的交点为 $C$ ；②以 $C$ 为圆心，仍以 $A B$ 长为半径作弧交 $A C$ 的延长线于点 $D$ ；③连接 $B D$ ， $B C$ ．下列结论错误的是（）

A、 $∠ C B D = 30 °$ B、点 $C$ 是 $△ A B D$ 的外心 C、 $S_{△ A B D} = \frac{\sqrt{3}}{4} A B^{2}$ D、 $\sin^{2} A + \cos^{2} D = 1$

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9.
用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（　　）

A、2n+1 B、n²﹣1 C、n²+2n D、5n﹣2

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10. 如图，在半径为3的⊙O中， $A B$ 是直径， $A C$ 是弦，D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点， $A C$ 与 $B D$ 交于点E.若E是 $B D$ 的中点，则 $A C$ 的长是（）

A、 $\frac{5}{2} \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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11. 如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿 $A \to B \to C$ 的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒）， $y = {PC}^{2}$ ，则y关于x的函数的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

12. $\sqrt{8} + \tan 45 ° + {(\sqrt{2})}^{- 1} - {(- 2021)}^{0}$ =

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13. 若等式y＝ $\frac{1}{\sqrt{3 - x}}$ 成立，则x的取值范围是．

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14. 截至2021年3月29日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗11096.2万剂次，则11096.2万用科学记数法表示为．

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15. 如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为．

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16. 如图，在△ABC中，AB=4，若将△ABC绕点B顺时针旋转60°，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，点D为A′B的中点，连接AD.则点A的运动路径 $\overset{⌢}{{AA}^{'}}$ 与线段AD、A′D围成的阴影部分面积是.

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17. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点A、C分别在x轴、y轴上， $B (- 2 ， 1)$ ，将 $△ O A B$ 绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到 $△ O E D$ ， $O E$ 交 $B C$ 于点G，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象经过点G，则k的值为.

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三、解答题

18. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x - y} + \frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}) \div \frac{y^{2}}{x^{2} - x y}$ ，其中 $x = 3 \sqrt{2} ， y = \sqrt{2} .$

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19. 2021年3月29日，卫建委发布了《新冠疫苗接种指南》，某中学为了解九年级学生对新冠疫苗知识的了解情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类﹣﹣非常了解；B类﹣﹣比较了解；C类﹣﹣般了解；D类﹣﹣不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)、本次共调查了 ▲ 名学生；补全条形统计图；

(2)、D类所对应扇形的圆心角的大小为；若该校九年级学生共有1000名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠疫苗知识非常了解的约有名．

(3)、已知调查的该班第一组学生中有2名男生1名女生，老师随机从该组中选取2名学生进一步了解其家庭成员接种情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．

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20. 鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 $C D$ .如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为 $α$ ，无人机沿水平线 $A F$ 方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段 $A M$ 的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上.其中 $tan α = 2 ， M C = 50 \sqrt{3}$ 米.

(1)、求无人机的飞行高度 $A M$ ；（结果保留根号）

(2)、求河流的宽度 $C D$ .（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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21. 某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品.已知 $1 k g$ 乙产品的售价比 $1 k g$ 甲产品的售价多5元， $1 k g$ 丙产品的售价是 $1 k g$ 甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍.

(1)、求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？

(2)、电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共 $40 k g$ ，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍.请你帮忙计算，按此方案购买 $40 k g$ 农产品最少要花费多少元？

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22. 如图，在Rt△ $A B C$ 中， $∠ C = 90^{°}$ ， $A D$ 平分∠ $B A C$ ， $D E ⊥ A D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，△ $A D E$ 的外接圆⊙ $O$ 与边 $A C$ 相交于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $A B$ 的垂线交 $A D$ 于 $P$ ，交 $A B$ 于 $M$ ，交⊙ $O$ 于点 $G$ ，连接 $G E$ ．

(1)、求证：BC是⊙O的切线；

(2)、若sin∠G= $\frac{4}{5}$ ，AB=16，求⊙O的直径．

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23. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D在边BC上，DE⊥DA且DE=DA ， AE交边BC于点F ，连接CE ．

（特例发现）

(1)、如图1，当AD=AF时，
①求证：BD=CF；

②推断：∠ACE= ▲ °；

(2)、（探究证明）
如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由．

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24. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．直线 $y = 2$ 经过抛物线上两点 $D$ ， $E$ ．已知点 $D$ ， $E$ 的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且满足 $x_{1} + x_{2} = 3$ ，直线 $B C$ 的表达式为 $y = - x + n$ ．

(1)、求 $n$ 的值及抛物线的表达式；

(2)、设点 $Q$ 是直线 $D E$ 上一动点，问：点 $Q$ 在什么位置上时， $△ Q O B$ 的周长最小？求出点 $Q$ 的坐标及 $△ Q O B$ 周长的最小值；

(3)、如图2， $M$ 是线段 $O B$ 上的一个动点，过点 $M$ 作垂直于 $x$ 轴的直线与直线 $B C$ 和抛物线分别交于点 $P$ ， $N$ ．若点 $F$ 是直线 $B C$ 上一个动点，当点 $P$ 恰好是线段 $M N$ 的中点时，在坐标平面内是否存在点 $G$ ，使以点 $G$ ， $F$ ， $P$ ， $M$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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