吉林省长春市绿园区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-07-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（）

A、-3.2 B、-3 C、-2 D、-0.5

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2. 中国高速路里程已突破120000公里，居世界第一位，将120000用科学记数法表示为（）

A、0.12×10⁶ B、1.2×10⁵ C、12×10⁴ D、120×10³

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3. 下列图形中，不是正方体表面展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知不等式组 ${\begin{array}{l} x - 3 > 0 \\ x + 1 \geq 0 \end{array}$ ，其解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，有一斜坡 $A B$ 的长 $A B = 10$ 米，坡角 $∠ B = 36^{\circ}$ ，则斜坡 $A B$ 的铅垂高度 $A C$ 为（）．

A、 $10 \tan 36^{\circ}$ B、 $10 \cos 36^{\circ}$ C、 $10 \sin 36^{\circ}$ D、 $\frac{10}{\sin 36^{\circ}}$

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6. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是弦（点C不与点A ，点B重合，且点C与点D位于直径 $A B$ 两侧），若 $∠ A O D = 110 °$ ，则 $∠ B C D$ 等于（）

A、 $25 °$ B、 $35 °$ C、 $55 °$ D、 $70 °$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° .$ 用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，顶点B在第一象限，AB=1．将线段OA绕点O按逆时针方向旋转60⁰得到线段OP，连接AP，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 过P、B两点，则k的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

9. 笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，买4本笔记本和2支圆珠笔共需元．

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10. 因式分解：2m²﹣2= ．

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11. 若关于x的一元二次方程x²﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为.

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12. 十二边形的内角和度数为.

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13. 如图，扇形 $A O B$ 的圆心角是为 $90 °$ ，四边形 $O C D E$ 是边长为 $1$ 的正方形，点 $C ， E$ 分别在 $O A ， O B ， D$ 在弧 $A B$ 上，那么图中阴影部分的面积为． (结果保留 $π$ )

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14. 在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，4），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y＝x²﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是．

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三、解答题

15. 计算：|1 $- \sqrt{2}$ | $- {(\frac{1}{2})}^{- 1} +$ （π﹣2021）⁰ ．

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16. 五一期间，甲、乙两人在附近的景点游玩，甲从 $A 、 B$ 两个景点中任意选择一个游玩，乙从 $A 、 B 、 C$ 三个景点中任意选择一个游玩．

(1)、乙恰好游玩 $A$ 景点的概率为．

(2)、用列表或画树状图的方法列出甲、乙恰好游玩同一景点的所有等可能的结果．并求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．

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17. 某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用2000元购买玻璃杯，用2800元购买保温杯．已知一个保温杯比一个玻璃杯贵10元，求一个玻璃杯的价格．

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18. 如图，网格中有一条线段 $A B$ ，点 $A$ 、 $B$ 都在格点上，网格中的每个小正方形的边长为1．请在图①和图②中各画出一个格点 $△ A B C$ ，使 $△ A B C$ 是直角三角形，且 $∠ A C B = 90 °$ ，并满足以下要求：

(1)、在图①中画出的三角形的两条直角边的长度均为有理数（画出一个即可）．

(2)、在图②中画出的三角形的两条直角边的长度均为无理数（画出一个即可）．

(3)、满足（1）、（2）的 $△ A B C$ 共有个．

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19. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在边 $C D$ 上， $C F = A E$ ，连接 $A F$ ， $B F$ ．

(1)、求证：四边形 $B F D E$ 是矩形；

(2)、已知 $∠ D A B = 60 °$ ， $A F$ 是 $∠ D A B$ 的平分线，若 $A D = 3$ ，求 $D C$ 的长度．

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20. 某校为了解本校初中学生在学校号召的“积极公益”活动中周末参加公益的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生.根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、本次接受调查的初中学生人数为，图①中m的值为；

(2)、求统计的这部分学生参加公益的时间数据的平均数、众数和中位数；

(3)、根据统计的这部分学生周末参加公益时间的样本数据，若该校共有650名初中学生，估计该校在这个周末参加公益时间大于1h的学生人数.

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21. 甲、乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地，如图，线段 $O A$ 表示货车离甲地距离 $y$ （千米）与货车出发时间 $x$ （小时）之间的函数关系；折线 $B C D$ 表示轿车离甲地距离 $y$ （千米）与货车出发时间 $x$ （小时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：

(1)、货车的速度为千米 $/$ 时；

(2)、求线段 $C D$ 对应的函数关系式；

(3)、在轿车行驶过程中，若两车的距离不超过20千米，直接写出 $x$ 的取值范围．

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22. （教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线．

求证： $C D = \frac{1}{2} A B$ ．

证明：延长CD至点E，使DE=CD ，连结AE、BE ．

(1)、请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．

图①

(2)、（结论应用）如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ， $∠ D A C = 45 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $E$ 是 $A C$ 的中点，连结 $B E$ 、 $B D$ ．则 $∠ D B E$ 的度数为°．

(3)、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 13$ ， $B C = 12$ ， $C A = 5$ ， $D$ 为边 $A B$ 的中点， $D E ⊥ A B$ 且与 $∠ A C B$ 的平分线交于点 $E$ ，则 $D E$ 的长为．

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23. 如图，在△ABC中，AB=25，AC=20，BC=15，CN⊥AB ，点P从点A出发，以每秒5个单位的速度沿AB向终点B匀速运动．当点P不与点A、B、N重合时，过点P作PQ⊥AC交AC于点Q ，以PQ、PN为邻边作平行四边形PQMN ，设平行四边形PQMN与△ ABC重叠部分面积为S（平方单位）．点P的运动时间为t（秒）．

(1)、当点P在线段AN上时，tan∠PQM的值是；

(2)、用含t的代数式表示线段PN的长度；

(3)、当S $= \frac{36}{5}$ 时，求t的值；

(4)、当点M恰好落在△ABC的角平分线上时，直接写出t的值．

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24. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 x + \frac{1}{a} + 3 (a \neq 0)$ ．

(1)、当 $a = - 3$ 时，若点 $P (- \frac{1}{3} ， b)$ 在此二次函数的图象上，求b的值；

(2)、若 $a < 0$ ，求此二次函数的最大值；

(3)、若点 $A (m ， - 3) ， B (m + 3 ， - 3)$ 恰好同时落在此二次函数的图象上，求a的值，并直接写出当函数值y随x的增大而增大时x的取值范围；

(4)、 $△ C D E$ 的三个顶点的坐标分别为 $C (0 ， \frac{1}{a} + 3) ， D (\frac{2}{a} ， \frac{1}{a} + 3) ， E (\frac{2}{a} ， 3)$ ，设 $△ C D E$ 的最长边与此二次函数的图象交于点F ，过点F作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为G ，过点F作x轴的垂线交x轴于点H ，若FG=FH ，直接写出a的值．

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