吉林省长春市朝阳区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-07-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 若等式3□（－4）＝－1成立，则“□”内的运算符号是（）

A、+ B、－ C、× D、÷

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2. 国家统计局1月18日公布，初步核算，2020我国国内生产总值（GDP）首次突破100万亿元，约为1 016 000亿元，其中1 016 000亿用科学记数法表示为（）

A、 $1.016 \times 10^{5}$ B、 $1.016 \times 10^{15}$ C、 $1.016 \times 10^{14}$ D、 $1.016 \times 10^{13}$

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3. 一个正方体的六个面分别标有六个不同的点数，其展开图如下所示，则该正方体可能是（）.

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ B、 $a^{2} \cdot a^{2} = a^{4}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$

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5. 设●、▲、■表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列为（）

A、■、●、▲ B、■、▲、● C、▲、●、■ D、▲、■、●

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6. 如图，过直径AB延长线上的点C作 $⊙ O$ 的切线，切点为D．若 $A C = 7$ ， $A B = 4$ ，则sinC的值（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{5}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 75 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 2$ ．按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心、大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN交AC于点D ，则CD的长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0 ， k > 0)$ 的图象上，连结OA ，过点A作AB平行于x轴，点B在点A的右侧，连结OB交该函数图象于点C ，连结AC ．若 $O C = 2 B C$ ，且 $△ O A C$ 的面积为 $\frac{10}{3}$ ，则k的值为（）

A、4 B、6 C、8 D、9

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二、解答题

9. 计算： ${(\sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{0} =$ ．

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10. 先化简，再求值： $2 (a^{2} - 5) - (a + 1) (a - 1)$ ，其中 $a = \sqrt{5}$ ．

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11. “航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小明得到了A、B、C三枚纪念章．如图，A、B、C三枚纪念章正面上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”和“天宫一号”的图案．三枚纪念章除正面图案不同外，其余均相同，小明将这三枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取一枚，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上至少有一张印有“嫦娥五号”图案的概率．

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12. 为迎接母亲节，某花店老板决定将玫瑰花每枝降价1元促销，降价后，30元可购买玫瑰花的数量是原来可购买玫瑰花数量的1.5倍．求降价后每枝玫瑰花的售价．

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13. 图①、图②、图③都是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法，所画的图形的顶点均在格点上．

(1)、在图①中画一个 $△ A B C$ ，使其面积为2．

(2)、在图②中画一个 $△ A B D$ ，使其面积为4．

(3)、在图③中画一个四边形ABEF ，使其面积为5．

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14. 某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：cm）如下表：

次数

成绩

学生

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

第6次

第7次

第8次

甲

169

165

168

169

172

173

169

167

乙

161

174

172

162

163

172

176

两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表：

名称

成绩

学生

平均数

（单位：cm）

中位数

（单位：cm）

众数

（单位：cm）

方差

（单位：cm²）

甲

5.75

乙

169

172

31.25

根据图表信息回答下列问题：

(1)、求a、b、c的值．

(2)、这两名同学中，的成绩更为稳定（填“甲”或“乙”）．

(3)、若预测跳高165cm就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择哪位同学参赛，并说明理由

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15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的一点，分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且 AB平分∠EAD.

(1)、求证：四边形EADB是菱形；

(2)、连接EC，当∠BAC＝60°，BC= $2 \sqrt{3}$ 时，求△ECB的面积.

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16. 甲同学骑共享单车保持匀速从家到公园，到达公园后休息了一会，以相同的速度原路骑共享单车返回家中，设甲同学距离家的路程为y（m），运动时间为x（min），y与x之间的函数图象如图所示．

(1)、a= ．

(2)、在甲同学从公园返回家的过程中，求y与x之间的函数关系式．

(3)、在甲同学从家出发的同时，乙同学以100m/min的速度从公园匀速步行去甲同学家学习，当乙同学与甲同学之间的路程为200m时，直接写出甲同学的运动时间．

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17. 如图

(1)、（问题原型）如图①，四边形ABDE、AGFC都是正方形， $A B > A C$ ，连结CE、BG ．求证： $B G = C E$ ．

(2)、（发现结论）如图②，设图①中的直线CE与直线BG交于点H ．求证： $E H ⊥ B G$ ．

(3)、（结论应用）将图①中的正方形AGFC绕着点A顺时针旋转角度 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，在整个旋转过程中，当点E、C、G三点在同一条直线上时，若 $A B = 3$ ， $A C = 2$ ，借助图①，直接写出BG的长．

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18. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $A B = 10$ ，D为边AB的中点．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AC-CB向终点B运动．当点P不与点C重合时，连结PD ，以CP、PD为边作 $▱ C P D E$ ．设点P的运动时间为t秒．

(1)、C、D两点之间的距离为．

(2)、当点E落在边BC上时，求 $▱ C P D E$ 的周长．

(3)、当点P在边BC上运动时，若四边形CPDE是轴对称图形，求t的值．

(4)、设 $▱ C P D E$ 的对角线的交点为O ，点D关于对角线PE的对称点为 $D^{'}$ ，连结 $O D^{'}$ ，当 $O D^{'} ⊥ C D$ 时，直接写出t的值．

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19. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + m x + m$ （m为常数）．

(1)、当点 $(m ， - \frac{1}{2})$ 在该抛物线上时，求m的值．

(2)、将抛物线在 $x ⩽ 2 m$ 的部分图象沿y轴翻折得到新图象记为G ，当 $- 2 ⩽ x ⩽ - 1$ 时，图象G的函数值y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，求m的取值范围．

(3)、当该抛物线在 $x ⩽ 2 m$ 的部分图象的最高点到 $y = - \frac{1}{2}$ 的距离为1时，求m的值．

(4)、当 $m > 0$ 时，过点 $A (1 ， - \frac{1}{2})$ 作垂直于x轴的直线交该抛物线于点B ，在AB延长上取一点C ，使 $B C = \frac{1}{3} A B$ ，将线段AB绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到线段AE ，以AC、AE为邻边作矩形ACDE ，当该抛物线的顶点在矩形的边上时，直接写出该抛物线在该矩形内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差．

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三、填空题

20. “同位角相等”是命题（填真或假）．

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21. 某种苹果的售价是每千克x元，打7折销售后每千克元．

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22. 如图，正五边形ABCDE和正六边形EFGHMN的边CD、FG在直线l上，正五边形在正六边形左侧，两个正多边形均在l的同侧，则 $∠ D E F$ 的大小是度．

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23. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，分别以点A和点B为圆心、AB长为半径作圆弧，两弧交于点C和点D．若 $A B = 2$ ，则图中阴影部分图形的周长和为．（结果保留 $π$ ）

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 经过 $A (2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点．若 $P (5 ， y_{1})$ ， $Q (m ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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