河北省唐山市路南区2021年中考数学三模试卷

试卷更新日期：2021-07-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 小丽在小华北偏东40°的方向，则小华在小丽的（）

A、南偏西50° B、北偏西50° C、南偏西40° D、北偏西40°

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2. 如图，数轴上点 $N$ 所对应的实数为 $n$ ，则下列实数中所对应的点在数轴上位于-1和0之间的是（）

A、 $1 - n$ B、 $n - 2$ C、 $2 - n$ D、 $n + 2$

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3. 一组数据：2，3，3，4，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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4. 当 $x = 1$ 时，下列分式没有意义的是（）

A、 $\frac{x + 1}{x}$ B、 $\frac{x}{x - 1}$ C、 $\frac{x - 1}{x}$ D、 $\frac{x}{x + 1}$

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5. 如图，直线 $A B$ 、 $C D$ 交于点 $O$ ，若 $A B$ 、 $C D$ 是等边 $△ M N P$ 的两条对称轴，且点 $P$ 在直线 $C D$ 上（不与点 $O$ 重合），则点 $M$ 、 $N$ 中必有一个在（）

A、 $∠ A O D$ 的内部 B、 $∠ B O D$ 的内部 $P$ C、 $∠ B O C$ 的内部 D、直线 $A B$ 上

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6. 在平面直角坐标系中，点 $A (3 ， 4)$ ， $B (- 2 ， m)$ ，当线段 $A B$ 最短时， $m$ 的值为（）

A、5 B、3 C、4 D、0

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7. 如图，这是张亮同学的小测试卷，他应该得的分数是（）

A、40 B、60 C、80 D、100

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8. 观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a ， b ， $a > b$ ，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（）

A、 $a (a - b) = a^{2} - a b$ B、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

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9. 如图，由七个相同的小正方体拼成立体图形，若从标有①②④的四个小正方体中取走一个或多个后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则取走的正方体不可能是（）

A、④ B、③ C、② D、①

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10. 在计算 $\frac{m^{2}}{m + 1} \div \frac{\otimes}{m + 1}$ 时，把运算符号“÷”看成了“+”，得到的计算结果是m，则这道题的正确的结果是（）

A、m B、 $\frac{1}{m}$ C、 $m - 1$ D、 $\frac{1}{m - 1}$

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11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $O (0 ， 0)$ ， $A (6 ， 0)$ ， $B (0 ， 8)$ ，以某点为位似中心，作出与 $△ A O B$ 的位似比为 $k$ 的位似 $△ C D E$ ，则位似中心的坐标和 $k$ 的值分别为（）

A、(0，0)， $\frac{1}{2}$ B、(1，1)，2 C、(2，2)， $\frac{1}{2}$ D、(1，1)， $\frac{1}{2}$

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12. 某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以 $\frac{3}{5}$ （x﹣10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（）

A、原价减去10元后再打6折 B、原价打6折后再减去10元 C、原价减去10元后再打4折 D、原价打4折后再减去10元

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13. 下面是教师出示的作图题．
已知：线段 $a$ ， $h$ ，小明用如图所示的方法作 $△ A B C$ ，使 $A B = a$ ， $A B$ 上的高 $C P = h$ ．

作法：①作射线 $A M$ ，以点 $A$ 为圆心、 ※ 为半径画弧，交射线 $A M$ 于点 $B$ ；②分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心、 △ 为半径画弧，两弧交于点 $D$ ， $E$ ；③作直线 $D E$ ，交 $A B$ 于点 $P$ ；④以点 $P$ 为圆心、 $\oplus$ 为半径在 $A M$ 上方画孤，交直线 $D E$ 于点 $C$ ，连接 $A C$ ， $B C$ ．

对于横线上符号代表的内容，下列说法错误的是（）

A、※代表“线段a的长” B、△代表“任意长” C、△代表“大于 $\frac{1}{2} a$ 的长” D、 $\oplus$ 代表“线段 $h$ 的长”

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14. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如下左图，则一次函数 $y = a x + b^{2} - 4 a c$ 与反比例函数 $y = \frac{b + c}{x}$ ．在同一坐标系内的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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15. 如图，已知正六边形 $A B C D E F$ 的边长为1，分别以其对角线 $A D$ 、 $C E$ 为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a-b的值为（）

A、0 B、2 C、1 D、 $\sqrt{3}$

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16. 如图，证明矩形的对角线相等．已知：四边形 $A B C D$ 是矩形．求证： $A C = B D$ ．以下是排乱的证明过程：①∴ $A B = C D$ ， $∠ A B C = ∠ D C B$ ；②∵ $B C = C B$ ；③∵四边形 $A B C D$ 是矩形；④∴ $A C = D B$ ；⑤∴ $△ A B C ≌ △ D C B$ ．

甲的证明顺序是：③①②⑤④

乙的证明顺序是：②③①⑤④

则下列说法正确的是（）

A、甲和乙都对 B、甲和乙都不对 C、甲对乙不对 D、乙对甲不对

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二、填空题

17. 若矩形的面积为2，则矩形相邻两边的长成比例．

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18. 如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数．则

(1)、x的值为；

(2)、 $x^{2} - y$ 的值为．

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19. 如图，在平面直角坐标中， $▱ A B C D$ 的顶点分别为 $A (1 ， 2)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (7 ， 5)$ ，曲线 $G ： y = \frac{k}{x} (x > 0)$ ．

(1)、当曲线 $G$ 经过 $▱ A B C D$ 对角线的交点时， $k$ 的值为；

(2)、若曲线 $G$ 刚好将 $▱ A B C D$ 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分．则 $k$ 的取值范围．

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三、解答题

20. 已知两个整式 $A = x^{2} + 2 x$ ， $B = x + 2$ ．

(1)、若 $B$ 的值是1，求 $x$ 和 $A$ 的值；

(2)、若 $A + B$ 的值是0，求 $x$ 的值．

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21. 如图， $Δ A B C$ 是等边三角形， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 上一点，且 $∠ D E F = 60 °$ .

(1)、若 $∠ 1 = 50 °$ ，求 $∠ 2$ ；

(2)、如图2，连接 $D F$ ，若 $D F / / B C$ ，求证： $∠ 1 = ∠ 3$ .

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22. 有三张正面分别写有数字-2，-1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为 $x$ 的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为 $y$ 的值，两次结果记为( $x$ ， $y$ )．

(1)、用树状图或列表法表示( $x$ ， $y$ )所有可能出现的结果；

(2)、求使代数式 $x^{2} - 3 x y$ 与 $y^{2} + x y$ 和的值为1的(x，y)出现的概率；

(3)、求在 $y = - \frac{1}{x}$ 图象上的点( $x$ ， $y$ )出现的概率．

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23. 如图，在 $△ A B E$ 中， $B E > A E$ ，延长 $B E$ 到点 $D$ ，使 $D E = B E$ ，延长 $A E$ 到点 $C$ ，使 $C E = A E$ ．以点 $E$ 为圆心，分别以 $B E$ 、 $A E$ 为半径作大小两个半圆，连结 $C D$ ．

(1)、求证： $A B = C D$ ；

(2)、设小半圆与 $B D$ 相交于点 $M$ ， $B E = 2 A E = 4$ ．
①当 $S_{△ A B E}$ 取得最大值时，求其最大值以及 $C D$ 的长；

②当 $A B$ 恰好与小半圆相切时，求弧 $A M$ 的长．

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24. 如图，小强组装了一款遥控车，并在长度为 $160 m$ 的跑道 $A B$ 上试验它在不同速度下的运行情况．从点 $A$ 出发，先以 $2 m/s$ 的速度行进了 $20 s$ ，接着以 $3 m/s$ 的速度行进到终点 $B$ ，为记录，全程安装了拍摄设备，拍摄设备在与起点 $A$ 距离 $40 m$ 处的 $P$ 点．设遥控车的运动时间为 $x (s)$ ，遥控车与拍摄点的距离为 $y (m)$ ，

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、求遥控车距离拍摄点 $10 m$ 时的运动时间；

(3)、当遥控车从点 $A$ 出发时，一个机器人从拍摄点出发以 $a m/s$ 的速度向点 $B$ 行进，并在与点 $B$ 相离 $15 m$ 内（不与点 $B$ 重合）被遥控车追上，直接写出 $a$ 的取值范围．

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25. 如图所示，一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，已知球出手时离地面 $\frac{20}{9}$ 米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．

(1)、请根据图中所给的平面直角坐标系，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；

(2)、问此篮球能否投中？

(3)、此时，若对方队员乙上前盖帽，已知乙最大摸高3.19米，他如何做才有可能获得成功？（说明在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来，称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2分．）

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26. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C = 17 \sqrt{2}$ ， $\tan ∠ D C A = \frac{7}{17}$ ，点 $P$ 为 $B C$ 边上一点，连接 $D P$ ，将 $D P$ 绕点 $D$ 逆时针旋转90°得到线段 $D Q$ ，连接 $P Q$ ．

(1)、填空： $A D =$ ， $B D =$ ， $D Q$ 的最小值是；

(2)、当 $∠ B P Q = 15 °$ 时，求 $B P$ 的长；

(3)、连接 $B Q$ ，若 $△ B D Q$ 的面积为25，求 $\tan ∠ B D Q$ 的值；

(4)、如图（2）， $P Q$ 与线段 $B D$ 交于点 $E$ ，若 $0 < B E < \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ ，请直接写出 $C P$ 的取值范围．

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