广东省惠州市惠城区2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-07-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ﹣ $\frac{1}{20}$ 的绝对值是（）

A、﹣20 B、20 C、 $\frac{1}{20}$ D、﹣ $\frac{1}{20}$

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2. 随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高，我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米 $= 0.000014$ 毫米，0.000014用科学记数法表示为（）

A、 $14 \times 10^{- 6}$ B、 $1.4 \times 10^{- 5}$ C、 $1.4 \times 10^{- 7}$ D、 $0.14 \times 10^{- 4}$

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3. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $3 a + 2 b = 5 a b$ B、 $- 8 a^{2} \div 4 a = 2 a$ C、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$ D、 $4 a^{3} \cdot 3 a^{2} = 12 a^{3}$

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5. 从1，3，5，7中任取两个数，则下列事件中是随机事件的是（）

A、两个数的和为奇数 B、两个数的和为偶数 C、两个数的积为偶数 D、两个数的积为3的倍数

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6. 在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：10，7，6，9，8，9，5，这组数据的中位数和众数分别是（）

A、7，9 B、9，9 C、8，9 D、9，8

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7. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点P ，交CD于点Q ，分别以P、Q为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ PQ为半径画弧交于点M ，连接DM并延长，交BC于点E ，连接AE ，恰好有AE⊥BC ，则AE的长为（）

A、3 B、4 C、5 D、 $\frac{25}{8}$

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8. 如图，已知 $A D // B E // C F$ ，那么下列结论正确的是（）

A、 $\frac{B E}{C F} = \frac{D E}{D F}$ B、 $\frac{D E}{E F} = \frac{A B}{B C}$ C、 $\frac{B E}{C F} = \frac{A B}{A C}$ D、 $\frac{E F}{D E} = \frac{A B}{B C}$

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 的边 $A B = 1$ ， $\overset{⌢}{B D}$ 和 $\overset{⌢}{A C}$ 都是以 $1$ 为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，则 $S_{1}$ - $S_{2}$ 等于（）

A、 $\frac{π}{2} - 1$ B、 $1 - \frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3} - 1$ D、 $1 - \frac{π}{6}$

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的边 $A B = 3$ ，对角线 $A C$ 和 $B D$ 交于点 $O$ ， $P$ 是边 $C D$ 上靠近点 $D$ 的三等分点，连接 $P A$ ， $P B$ ，分别交 $B D$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ ，连接 $M N$ ．有下列结论：① $O M = M D$ ；② $\frac{S_{△ O M A}}{S_{△ O N B}} = \frac{5}{2}$ ；③ $M N = \frac{3 \sqrt{58}}{20}$ ；④ $S_{Δ M D P} = \frac{3}{8}$ ．其中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题

11. 因式分解： $4 a^{3} - 16 a^{2} + 16 a =$ ．

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12. 若 $b = \sqrt{2 - a} + \sqrt{a - 2} - 5$ ，则a-b= ．

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13. 已知点 $P (2 m + 4 ， m - 1)$ 在第一象限，到x轴的距离为2，则m= ．

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14. 已知 $a^{2} + 3 a + 1 = 0$ ，求 $6 - 3 a^{2} - 9 a$ 的值为．

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15. 如图，正五边形ABCDE的边长为5，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则 $\overset{⌢}{B F}$ 的长为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $C D ⊥ B D$ ，垂足为 $D$ ， $E$ 为 $A C$ 的中点．若 $A B = 10$ ， $B C = 6$ ，则 $D E$ 的长为．

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17. 如图，半径为 $4$ 的 $⊙ O$ 中， $C D$ 为直径，弦 $A B ⊥ C D$ 且过半径 $O D$ 的中点，点 $E$ 为 $⊙ O$ 上一动点， $C F ⊥ A E$ 于点 $F$ ．当点 $E$ 从点 $B$ 出发顺时针运动到点 $D$ 时，点 $F$ 所经过的路径长为．

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三、解答题

18. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = - 2 + \sqrt{3}$ ．

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19. 如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于点 D，且∠D=2∠A．

(1)、求∠D 的度数；

(2)、若⊙O 的半径为 m，求 BD 的长.

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20. 对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试．根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成

A

，

B

，

C

，

D

四组，绘制了如下统计图表：

“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表

组别	分数/分	频数
$A$	$60 < x ⩽ 70$	38
$B$	$70 < x ⩽ 80$	72
$C$	$80 < x ⩽ 90$	60
$D$	$90 < x ⩽ 100$	m

“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计图

依据以上统计信息解答下列问题：

(1)、填空：m= ， n=；

(2)、为了增强大家对垃圾分类的了解，学校组织每个班级学习相关知识，经过一段时间的学习后，再次对原来抽取的这些同学进行问卷测试，发现 A 组的同学平均成绩提高 15 分， B 组的同学平均成绩提高10分， C 组的同学平均成绩提高5分， D 组的同学平均成绩没有变化，请估计学习后这些同学的平均成绩提高多少分?若把测试成绩超过85分定为优秀，这些同学再次测试的平均成绩是否达到优秀，为什么?

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + 2 k = 0$ ．
（ $1$ ）求证：方程总有两个实数根；

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22. 某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶需纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶需纯用电费用26元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．

(1)、求每行驶1千米纯用电的费用；

(2)、若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？

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23. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，顶点 $A$ ， $B$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上，直线 $B C ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，连接 $O B$ ， $O C$ ．

(1)、若 $O B = 4$ ， $∠ B O D = 60 °$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若 $t a n ∠ A B C = 2$ ，求直线 $O C$ 的解析式．

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24. 在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的顶点A ， C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为 $(2 ， 2 \sqrt{3})$ ，将矩形 $O A B C$ 绕点A顺时针旋转 $α$ ，得到矩形 $O_{1} A B_{1} C_{1}$ ，点O ， B ， C的对应点分别为 $O_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ ．

(1)、如图①，当 $α = 45 °$ 时， $O_{1} C_{1}$ 与 $A B$ 相交于点E ，求点E的坐标；

(2)、如图②，当点 $O_{1}$ 落在对角线 $O B$ 上时，连接 $B C_{1}$ ，四边形 $O A C_{1} B$ 是何特殊的四边形？并说明理由；

(3)、连接 $B C_{1}$ ，当 $B C_{1}$ 取得最小值和最大值时，分别求出点 $B_{1}$ 的坐标（直接写出结果即可）．

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 6 x + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ .直线 $y = x - 5$ 经过点 $B$ 、 $C$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线的对称轴 $l$ 与直线 $B C$ 相交于点 $P$ ，连接 $A C$ 、 $A P$ ，判定 $△ A P C$ 的形状，并说明理由；

(3)、在直线 $B C$ 上是否存在点 $M$ ，使 $A M$ 与直线 $B C$ 的夹角等于 $∠ A C B$ 的2倍？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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