安徽省合肥市重点中学2021年中考数学三模试卷

试卷更新日期：2021-07-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{3}{2}$ 的相反数是（）．

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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2. 下列各式计算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} - \sqrt{2} = 1$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$ D、 ${(- x^{2})}^{3} = - x^{6}$

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3. 据统计，某城市去年接待旅游人数约为89000000人，89000000这个数据用科学记数法表示为（）

A、 $8.9 \times 10^{5}$ B、 $8.9 \times 10^{6}$ C、 $8.9 \times 10^{7}$ D、 $8.9 \times 10^{8}$

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4. 下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115，138，126，143，134，126，157，118．这组数据的众数和中位数分别是（）

A、126，126 B、126，130 C、130，134 D、118，134

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6. 如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（）

A、相等 B、互余或互补 C、互补 D、相等或互补

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7. 下列关于二次函数 $y = a x^{2} ﹣ 2 a x + 1$ （ $a > 1$ ）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）

A、只有一个交点，且它位于y轴的右侧 B、只有一个交点，且它位于y轴的左侧 C、有两个交点，且它们位于y轴的两侧 D、有两个交点，且它们位于y轴的右侧

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8. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③AE+DF=AF+DE；
④当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．
其中一定正确的是（）

A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②③④

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9. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，动点M满足： $S_{矩形 A B C D} = 3 S_{△ M A B}$ ，则点M到点A、B的距离之和（ $M A + M B$ ）的最小值是（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、10 D、8

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10. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B C$ 上，且 $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $A E = C E$ ， $B E = 2$ ，则矩形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $24 \sqrt{3}$ B、24 C、 $12 \sqrt{3}$ D、12

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二、填空题

11. 把多项式 $4 a b^{2} - 16 a c^{2}$ 分解因式的结果是．

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12. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若OB＝3，∠ABC＝30°，则劣弧AC的长为.

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13. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，请你在第三象限的图象上取一个正确的点，并写出它的坐标．

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14. 如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连结BE，那么线段BE的长为．

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三、解答题

15. 解不等式： $3 (x + 1) \leq 5 x + 7$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

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16. 学校为奖励在艺术节系列活动中表现优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品30件和乙种奖品25件需花费1950元，购买甲种奖品15件和乙种奖品35件需花费1650元．

(1)、求甲、乙两种奖品的单价；

(2)、学校计划购买甲、乙两种奖品共1800件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，学校分别购买甲、乙两种奖品多少件才能使总费用最小？最小费用是多少元？

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17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系．△ABC的顶点都在格点上．

(1)、将△ABC 向右平移 6个单位长度得到△A₁B₁C₁ ，请画出△A₁B₁C₁；

(2)、画出△A₁B₁C₁关于点O的中心对称图形△A₂B₂C₂：

(3)、若将△ABC 绕某一点旋转可得到△A₂B₂C₂ ，请直接写出旋转中心的坐标.

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18. 观察下列等式：
① $\frac{3^{2} - 1^{2}}{4} = 1 + 1$ ；② $\frac{4^{2} - 2^{2}}{4} = 1 + 2$ ；③ $\frac{5^{2} - 3^{2}}{4} = 1 + 3$ ；④ $\frac{6^{2} - 4^{2}}{4} = 1 + 4$ ；⑤ $\frac{7^{2} - 5^{2}}{4} = 1 + 5$ ……

(1)、请按以上规律写出第⑥个等式；

(2)、猜想并写出第n个等式 ▲ ；并证明猜想的正确性．

(3)、利用上述规律，计算： $\frac{3^{2} - 1^{2} - 4}{4} + \frac{4^{2} - 2^{2} - 4}{4} + \frac{5^{2} - 3^{2} - 4}{4} + \dots + \frac{2021^{2} - 2019^{2} - 4}{4}$ = ．

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19. 如图， $A ， B$ 两点被池塘隔开，在 $A B$ 外选一点C ，连接 $A C ， B C$ ．测得 $B C = 221 m$ ， $∠ A C B = 45 °$ ， $∠ A B C = 58 °$ ．根据测得的数据，求 $A B$ 的长（结果取整数）．
参考数据： $\sin 58 ° \approx 0 ． 85$ ， $\cos 58 ° \approx 0 ． 53$ ， $\tan 58 ° \approx 1 ． 60$ ．

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20. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边BC上，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于点E，D为⊙O上一点，点B是弧DE中点.

(1)、如图1，若AE＝BE，求证：四边形ACDE是平行四边形；

(2)、如图2，若OB＝OC，BE＝2AE，求tan∠CAD的值.

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21. 在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，5，乙口袋中的小球上分别标有数字3，4，5，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为 $m$ ，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为 $n$ ．

(1)、从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式 $x^{2} - 7 x + 12$ 的值为0的概率；

(2)、若m，n都是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的解时，则小明获胜；若 $m$ ， $n$ 都不是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的解时，则小张获胜；问他们两人谁获胜的概率大．

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22. 某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.

(1)、若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，请计算说明理由.

(2)、为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽略不计）.

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23. 如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE

(1)、[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是；位置关系是；

(2)、[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；

(3)、[应用]：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE//AB，且AB＝ $\sqrt{5}$ ，AE＝1，求线段DG的长

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