辽宁省丹东市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-28 类型：中考真卷

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一、单选题

1. -5的相反数是（）

A、5 B、 $\frac{1}{5}$ C、-5 D、0.5

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{- 2} \cdot a^{3} = a^{- 6}$ B、 ${(m - n)}^{2} = m^{2} - m n + n^{2}$ C、 ${(2 a^{3})}^{3} = 8 a^{6}$ D、 $(2 m + 1) (2 m - 1) = 4 m^{2} - 1$

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3. 如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若一组数据1，3，4，6，m的平均数为4，则这组数据的中位数和众数分别是（）

A、4，6 B、4，4 C、3，6 D、3，4

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5. 若实数k、b是一元二次方程 $(x + 3) (x - 1) = 0$ 的两个根，且 $k < b$ ，则一次函数 $y = k x + b$ 的图象不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，连接 $B D$ ，将 $△ B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠得到 $△ B D E ， B E$ 交 $A D$ 于点O ， $B E$ 恰好平分 $∠ A B D$ ，若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，则点O到 $B D$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ D、3

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7. 如图，点A在曲线到 $y_{1} = \frac{2}{x} (x > 0)$ 上，点B在双曲线 $y_{2} = \frac{k}{x} (x < 0)$ 上， $A B // x$ 轴，点C是x轴上一点，连接 $A C$ 、 $B C$ ，若 $△ A B C$ 的面积是6，则k的值（）

A、-6 B、-8 C、-10 D、-12

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8. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ ，且 $a + b + c = - \frac{1}{2} ， a - b + c = - \frac{3}{2}$ ．判断下列结论：① $a b c < 0$ ；② $2 a + 2 b + c > 0$ ；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当 $2 \leq x \leq 3$ 时， $y_{最小} = 3 a$ ；⑤该抛物线与直线 $y = x - c$ 有两个交点，其中正确结论的个数（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

9. 按照现行贫困标准计算，中国770000000村贫困人口摆脱贫困，将数据770000000用科学记数法表示为．

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10. 在函数 $y = \frac{\sqrt{x - 3}}{x - 2}$ 中，自变量x的取值范围．

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11. 分解因式：ma²+2mab+mb²=.

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12. 关于x的一元二次方程 $k x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是.

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13. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 1 < 3 \\ x > m \end{array}$ 无解，则m的取值范围．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 ° ， A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点D ，交 $B C$ 于点 $E (B E > C E)$ ，点F是 $A C$ 的中点，连接 $A E$ 、 $E F$ ，若 $B C = 7 ， A C = 5$ ，则 $△ C E F$ 的周长为．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，连接 $B D$ ，过点C作 $∠ D B C$ 平分线 $B E$ 的垂线，垂足为点E ，且交 $B D$ 于点F；过点C作 $∠ B D C$ 平分线 $D H$ 的垂线，垂足为点H ，且交 $B D$ 于点G ，连接 $H E$ ，若 $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $C D = \sqrt{2}$ ，则线段 $H E$ 的长度为．

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16. 已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果 $△ A B C$ 是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足 $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A = 120 °$ ．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若 $A B = A C = \sqrt{7} ， B C = 2 \sqrt{3}$ ，P为 $△ A B C$ 的费马点，则 $P A + P B + P C =$ ；若 $A B = 2 \sqrt{3} ， B C = 2 ， A C = 4$ ，P为 $△ A B C$ 的费马点，则 $P A + P B + P C =$ ．

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三、解答题

17. 先化简，再求代数式的值： $\frac{2}{a - 2} + \frac{2 a - 4}{a^{2} - 4} + \frac{a + 1}{2 - a}$ ，其中 $a = 2 \sin 30 ° + 2 {(π - 1)}^{0}$ ．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点O是 $A D$ 的中点，连接 $CO$ 并延长交 $B A$ 的延长线于点E ，连接 $A C$ 、 $D E$ ．

(1)、求证：四边形 $A C D E$ 是平行四边形；

(2)、若 $A B = A C$ ，判断四边形 $A C D E$ 的形状，并说明理由．

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19. 某中学为了增强学生体质，计划开设A：跳绳，B：毽球，C：篮球，D：足球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，对部分学生进行抽样调查（每人只能选择一种体育活动），并绘制成如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：

(1)、求这次抽样调查的学生有多少人？

(2)、求出B所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；

(3)、若该校有800名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢B的人数．

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20. 一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．

(1)、请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；

(2)、若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．

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21. 为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？

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22. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，点D是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，过点D作 $E F // B C$ 分别交 $A B$ 、 $A C$ 的延长线于点E和点F ，连接 $A D$ 、 $B D$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B M$ 交 $A D$ 于点M ．

(1)、求证： $E F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B ： B E = 5 ： 2$ ， $A D = \sqrt{14}$ ，求线段 $D M$ 的长．

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23. 如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为 $36.87 °$ ，山顶B在水中的倒影C的俯角为 $63.44 °$ ，此时无人机距水面的距离 $A D = 50$ 米，求点B到水面距离 $B M$ 的高度．
（参考数据： $\sin 36.87 ° \approx 0.60$ ， $\cos 36.87 ° \approx 0.80$ ， $\tan 36.87 ° \approx 0.75$ ， $\sin 63.44 ° \approx 0.89$ ， $\cos 63.44 ° \approx 0.45$ ， $\tan 63.44 ° \approx 2.00$ ）

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24. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．

(1)、求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）

(2)、若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？

(3)、超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？

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25. 已知，在正方形 $A B C D$ 中，点M､N为对角线 $A C$ 上的两个动点，且 $∠ M B N = 45 °$ ，过点M、N分别作 $A B$ ､ $B C$ 的垂线相交于点E ，垂足分别为F､G ，设 $△ A F M$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ N G C$ 的面积为 $S_{2}$ ， $△ M E N$ 的面积为 $S_{3}$ ．

(1)、如图1，当四边形 $E F B G$ 为正方形时，
①求证： $△ A F M ≌ △ C G N$ ；

②求证： $S_{3} = S_{1} + S_{2}$ ；

(2)、如图2，当四边形 $E F B G$ 为矩形时，写出 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 三者之间的数量关系，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下，若 $B G ： G C = m ： n (m > n)$ ，请直接写出 $A F ： F B$ 的值．

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26. 如图，已知点 $A (- 8 ， 0)$ ，点 $B (- 5 ， - 4)$ ，直线 $y = 2 x + m$ 过点B交y轴于点C ，交x轴于点D ，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{11}{4} x + c$ 经过点A、C、D ，连接 $A B$ 、 $A C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(3)、E为直线 $A C$ 上方的抛物线上一点，且 $\tan ∠ E C A = \frac{1}{2}$ ，求点E的坐标；

(4)、N为线段 $A C$ 上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段 $B N$ 运动到点N ，再以每秒 $\sqrt{5}$ 个单位长度的速度沿线段 $N C$ 运动到点C ，又以每秒1个单位长度的速度沿线段 $CO$ 向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．

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