辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期数学期初考试试卷

试卷更新日期：2021-07-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. $\cos 4260^{\circ} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是 $(1 ， 2)$ ，则 $i \cdot z =$ （）．

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 2 + i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 2 - i$

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3. 设非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则（）

A、 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ B、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ C、 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ D、 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$

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4. 从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，则这名女生被选中的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x} - {(\frac{1}{2})}^{x} + 1$ 在 $[- 1 ， 2]$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\frac{13}{16}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、3

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6. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $C = 60 °$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，则 $\sin A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 如图，在四面体 $A B C D$ 中，截面 $P Q M N$ 是正方形，则在下列命题中，错误的为（）

A、 $A C ⊥ B D$ B、 $A C / /$ 截面 $P Q M N$ C、 $A C = B D$ D、异面直线 $P M$ 与 $B D$ 所成的角为 $45^{\circ}$

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8. 设偶函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x) + f (- x)}{x} > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 4)$ ，则（）

A、 $\vec{a} // \vec{b}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = - 5$ C、 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、 $2 | \vec{a} | = | \vec{b} |$

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10. 如图是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ )的部分图象，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则下列命题正确的是（）

A、 $y = g (x)$ 是奇函数 B、函数 $g (x)$ 的图象的对称轴是直线 $x = k π + \frac{π}{4}$ $(k \in Z)$ C、函数 $g (x)$ 的图象的对称中心是 $(\frac{k π}{4} ， 0)$ $(k \in Z)$ D、函数 $g (x)$ 的单调递减区间为 $[k π + \frac{π}{4} ， k π + \frac{3π}{4}]$ $(k \in Z)$

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11. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D ， A B ⊥ A D ， A B = 2 A D = 2 C D = 2$ ，F是 $A B$ 的中点，E是 $P B$ 上的一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $P B = 2 P E$ ，则 $E F / /$ 平面 $P A C$ B、若 $P B = 2 P E$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的体积是三棱锥 $E - A C B$ 体积的6倍 C、三棱锥 $P - A D C$ 中有且只有三个面是直角三角形 D、平面 $B C P ⊥$ 平面 $A C E$

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12. 给出下列命题，其中正确命题的有：（）

A、若 $α$ ， $β$ 是第一象限角且 $α < β$ ，则 $\tan α < \tan β$ ； B、不存在实数 $α$ ，使得 $\sin α + \cos α = \frac{3}{2}$ ； C、函数 $y = \sin (\frac{π}{4} - 2 x)$ 在 $[- \frac{π}{8} ， \frac{5π}{24}]$ 单调递减； D、函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 成中心对称图形.

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三、填空题

13. 在平行四边形ABCD中 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{e_{1}}$ ， $\overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{N C} = \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ ， $\overset{⇀}{B M} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{M C}$ ，则 $\overset{⇀}{M N} =$ .（用 $\overset{⇀}{e_{1}} ， \overset{⇀}{e_{2}}$ 表示）

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14. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均相等，D为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则直线AD与平面 $B_{1} D C$ 所成角的正弦值为

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15. 我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程 $p x^{2} = q$ 中，p为“隅”，q为“实”．即若 $△ A B C$ 的大斜、中斜、小斜分别为a ， b ， c ，则 $S^{2} = \frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]$ .已知点D是 $△ A B C$ 边AB上一点， $A C = 3$ ， $B C = 2$ ， $∠ A C D = 45^{°}$ ， $\tan ∠ B C D = \frac{8 + \sqrt{15}}{7}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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16. 已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是， cos∠BDC= ．

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四、解答题

17.

(1)、已知 $\sin (\frac{5}{12} π + α) = \frac{1}{3}$ ，求 $\sin (\frac{π}{12} - α)$ 的值．

(2)、已知角 $α$ 的终边过点 $P (- 4 ， 3)$ ， $β$ 为第三象限角，且 $\tan β = \frac{4}{3}$ ，求 $\cos (α - β)$ 的值.

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18. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 2)$ .

(1)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 3 \vec{b}$ 垂直？

(2)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 3 \vec{b}$ 平行？平行时，它们是同向还是反向？

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $P C = P D = \sqrt{2}$ ， $E$ 为 $P B$ 中点．

(1)、求证： $P D //$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求三棱锥 $P - A E C$ 的体积．

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20. 设函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6}) - 2 \cos^{2} \frac{ω}{2} x + 1 (ω > 0)$ .直线 $y = \sqrt{3}$ 与函数 $y = f (x)$ 图象相邻两交点的距离为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ .若点 $(\frac{B}{2} ， 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一个对称中心，且 $b = 3$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的面积.

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21. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是正三角形，侧棱 $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A A_{1}$ 的中点，且 $A_{1} D ⊥ B_{1} E$ .

（Ⅰ）求证： $B_{1} E ⊥$ 平面 $A_{1} C D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $A_{1} - C D - B_{1}$ 的余弦值.

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22. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 $A B C D$ 的池底水平铺设污水净化管道（ $R t Δ F H E$ 三条边， $H$ 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口 $H$ 是 $A B$ 的中点， $E ， F$ 分别落在线段 $B C ， A D$ 上，已知 $A B = 20$ 米， $A D = 10 \sqrt{3}$ 米，记 $∠ B H E = θ$ .

(1)、试将污水净化管道的总长度 $L$ （即 $R t Δ F H E$ 的周长）表示为 $θ$ 的函数，并求出定义域；

(2)、问 $θ$ 取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.

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