辽宁省本溪市重点高中2020-2021学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2021-07-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} \leq 4}$ ， $B = {y | y = 2^{x}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[- 2 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $R$

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2. 设 $z = \frac{i}{1 + i^{3}}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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3. 疫情期间，我市某医院派遣甲､乙､丙､丁､戊5名医护人员支援武汉A､B､C三所医院，每所医院至少一人，其中甲乙要求在同一所医院，共有（）种派遣方法.

A、36 B、24 C、48 D、64

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4. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且直线 $m \subset α$ ，直线 $n \subset β$ ，下列命题为真命题的是（）

A、“ $m ⊥ n$ ”是“ $n ⊥ α$ ”的充分条件 B、“ $m / / n$ ”是“ $m // β$ ”的既不充分又不必要条件 C、“ $α // β$ ”是“ $m / / n$ ”的充要条件 D、“ $m ⊥ n$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的必要条件

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5. 在边长为1的等边三角形 $A B C$ 中，点E是 $A C$ 中点，点F是 $B E$ 中点，则 $\vec{A F} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{3}{8}$

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6. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点Q是线段 $D_{1} C_{1}$ 的中点，点P满足 $\vec{A_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{A_{1} A}$ ，则异面直线 $P Q ， A B$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{7}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{10}}{7}$ D、 $\frac{3}{7}$

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7. 已知 $f (x) =$ $\frac{x^{2} - x + 4}{x - 1} (x \geq 2)$ ， $g (x) = a^{x}$ $(a > 1 ， x \geq 2)$ ，若 $\forall x_{1} \in [2 ， + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in [2 ， + \infty)$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $\sqrt{3} < a \leq \sqrt{5}$ B、 $1 < a \leq 2$ C、 $1 < a \leq \sqrt{3}$ D、 $1 < a \leq \sqrt{5}$

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8. 已知奇函数 $f (x)$ 是定义在R上的单调函数，若函数 $g (x) = f (x^{2}) + f (a - 2 | x |)$ 恰有4个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(0 ， 1)$

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二、多选题

9. 2019年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（）

A、P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商 B、三家设备商的产品组合指标得分相同 C、在参与评估的各项指标中，Q设备商均优于R设备商 D、除产品组合外，P设备商其他4项指标均超过Q设备商与R设备商

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10. 下列命题是假命题的是（）

A、不等式 $\frac{1}{x} > 1$ 的解集为 ${x | x < 1}$ B、函数 $y = x^{2} - 2 x - 8$ 的零点是(-2，0)和(4，0) C、若 $x \in R$ ，则函数 $y = \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 D、 $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ 是 $x < 2$ 成立的充分不必要条件

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11. 若函数 $f (x) = a \sin x + \cos x$ ( $a$ 为常数， $a \in R$ )的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，则函数 $g (x) = \sin x + a \cos x$ 的图象（）

A、关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 B、关于直线 $x = \frac{4 π}{3}$ 对称 C、关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称 D、关于点 $(\frac{5 π}{6} ， 0)$ 对称

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12. 几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：
⑴甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；

⑵乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；

⑶丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；

⑷丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；

⑸戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，下列结论正确的是（）

A、最高处的树枝为G､I当中的一个 B、最低处的树枝一定是F C、这九棵树枝从高到低不同的顺序共有33种 D、这九棵树枝从高到低不同的顺序共有32种

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三、填空题

13. 在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于．

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14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点.若双曲线 $C$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 的一个交点为 $A (x_{0} ， y_{0})$ $(x_{0} < 0 ， y_{0} > 0)$ ，且双曲线 $C$ 的渐近线为 $y = \pm 2 \sqrt{6} x$ ，则 $\cos ∠ A F_{2} F_{1} =$ .

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15. $f (x)$ 是定义在 $R$ 上函数，满足 $f (x) = f (- x)$ 且 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{3}$ ，若对任意的 $x \in [2 t + 1 ， 2 t + 3]$ ，不等式 $f (2 x - t) \geq 8 f (x)$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是.

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16. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为 $110 m$ ，到达最高点时，距离地面的高度为 $120 m$ ，能看到方圆 $40 km$ 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 $30 \min$ .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到 $t \min$ 后距离地面的高度为 $H m$ ，则转到 $10 \min$ 后距离地面的高度为 $m$ ，在转动一周的过程中， $H$ 关于 $t$ 的函数解析式为.

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四、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a+b．

(1)、求角C的大小；

(2)、若△ABC的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{12} c$ ，求ab的最小值.

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18. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 上一点 $M (\frac{3}{2} ， m)$ 到它的准线的距离为 $\frac{5}{2}$ ，直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ､ $B$ 两点， $O$ 是坐标原点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $E (- 2 ， 0)$ ，若直线 $l$ 不与坐标轴重直，且 $∠ A E O = ∠ B E O$ .证明：直线 $l$ 过定点.

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19. 如图所示的几何体中， $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 为直三棱柱，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $A D = 2 C D$ ， $∠ A D C = 60 °$ .

(1)、若 $A A_{1} = A C$ ，求证： $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C D$ ；

(2)、若 $C D = 2$ ， $A A_{1} = λ A C$ $(λ > 0)$ ，二面角 $A - C_{1} D - C$ 的正切值为2，求三棱锥 $C_{1} - A_{1} C D$ 的体积.

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20. 为倡导绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”业务.其中一款新能源分时租赁汽车每次租车收费标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/千米；②行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分计费；超过40分钟时，超出部分按0.20元/分计费.已知王先生家离上班地点15千米，每天租用该款汽车上､下班各一次.由于堵车､红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间是变量 $t$ (单位：分).现统计其50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：

时间 $t$ 分

$[20 ， 30]$

$[30 ， 40]$

$[40 ， 50]$

$[50 ， 60]$

频数

2

18

20

10

将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为 $[20 ， 60]$ 分.

(1)、写出王先生一次租车费用 $y$ (单位：元)与用车时间 $t$ (单位：分)的函数关系式；

(2)、若王先生的公司每月发放1000元的车补，每月按22天计算，请估计：
①王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班的平均用车时间(同一时段，用该区间的中点值做代表).

②王先生每月的车补能否足够上下班租用新能源分时租赁汽车，并说明理由.

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21. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x}}{2^{x + 1} + a} (a \in R ， b \in R)$ 是奇函数.

(1)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) + m = 0$ 有正根，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in (1 ， 2)$ 时，不等式 $2^{x} + k f (x) - 3 > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ .圆 $Q$ ${(x - 2)}^{2} + {(y - \sqrt{2})}^{2} = 2$ 的圆心 $Q$ 在椭圆 $C$ 上.点 $P (0 ， \sqrt{2})$ 到椭圆 $C$ 的右焦点的距离为 $\sqrt{6}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 作互相垂直的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且 $l_{1}$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $l_{2}$ 交圆 $Q$ 于 $C$ ， $D$ 两点，且 $M$ 为 $C D$ 的中点，求 $△ M A B$ 的面积的取值范围.

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时间 $t$ 分	$[20 ， 30]$	$[30 ， 40]$	$[40 ， 50]$	$[50 ， 60]$
频数	2	18	20	10