河北省2020-2021学年高二上学期数学12月考试试卷

试卷更新日期：2021-07-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x \in (0 ， + \infty) ， \log_{2} x < \log_{5} x$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in (- \infty ， 0) ， \log_{2} x \geq \log_{5} x$ B、 $\exists x \in (0 ， + \infty) ， \log_{2} x \geq \log_{5} x$ C、 $\forall x \in (0 ， + \infty) ， \log_{2} x \geq \log_{5} x$ D、 $\forall x \in (0 ， + \infty) ， \log_{2} x < \log_{5} x$

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2. 若双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴长为6，离心率 $e = \frac{5}{3}$ ，则其焦点坐标为（）

A、 $(\pm 4 ， 0)$ B、 $(0 ， \pm 4)$ C、 $(\pm 5 ， 0)$ D、 $(0 ， \pm 5)$

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3. 下列命题为真命题的是（）

A、“两个三角形的面积相等”是“这两个三角形全等”的充分不必要条件 B、“ $A \cap B = B$ ”是“ $B \subseteq A$ ”的充要条件 C、两个无理数之和仍为无理数 D、所有的正偶数都不是素数

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4. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (4 ， 0)$ ，点 $P (3 ， y_{0})$ 是 $C$ 上的一点，则 $| P F | =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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5. 设 $O$ 为坐标原点，直线 $x = a$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别交于 $D$ ， $E$ 两点．若 $C$ 的焦距为4，则 $△ O D E$ 面积的最大值为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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6. 正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长和高均为2，点 $D$ 为侧棱 $C C_{1}$ 的中点，连接 $A D$ ， $B D$ ，则点 $C_{1}$ 到平面 $A B D$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $C D = 3$ ， $B D = 5$ ，点 $E$ 在棱 $A D$ 上，且 $A E = 2 E D$ ，则异面直线 $B E$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$ D、 $\frac{3 \sqrt{26}}{26}$

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8. 已知函数 $f (x) = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象在 $(0 ， 1)$ 处的切线方程为 $y = 2 x + 1$ ，若 $f (x) \geq m x + x$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[\begin{array}{l} - 1 ， 2 e - 1 \end{array}]$ B、 $(- \infty ， 2 e - 1]$ C、 $[\begin{array}{l} - 1 ， e - 1 \end{array}]$ D、 $(- \infty ， e - 1]$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = x \cos x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $f^{'} (x)$ 为偶函数 B、 $f^{'} (x)$ 为奇函数 C、 $f^{'} (0) = 1$ D、 $f (\frac{π}{2}) + f^{'} (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

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10. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 2 ， - 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， 4 ， 5)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) // \vec{a}$ B、 $5 | \vec{a} | = \sqrt{3} | \vec{b} |$ C、 $\vec{a} ⊥ (5 \vec{a} + 6 \vec{b})$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$

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11. 已知 $P$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 右支上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ 的左、右焦点， $O$ 为原点，若 $| \vec{O P} - \vec{O F_{2}} | = 8$ ，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{5}{4}$ B、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为64 D、点 $P$ 到双曲线 $C$ 左焦点的距离是16

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12. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上，且 $P F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $| P F_{1} | = \frac{4}{3}$ ， $| P F_{2} | = \frac{14}{3}$ ．过点 $M (- 2 ， 1)$ 的直线交椭圆于 $A ， B$ 两点，且 $A ， B$ 关于点 $M$ 对称，则下列结论正确的有（）

A、椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、椭圆的焦距为 $\sqrt{5}$ C、椭圆上存在 $4$ 个点 $Q$ ，使得 $\vec{Q F_{1}} \cdot \vec{Q F_{2}} = 0$ D、直线 $l$ 的方程为 $8 x - 9 y + 25 = 0$

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三、填空题

13. 抛物线 $x^{2} = 20 y$ 的准线方程为．

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14. 已知函数 $f (x) = \sin x - 2 a x$ 是 $R$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围为．

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15. 若 $x = - 3$ 是函数 $f (x) = (x^{2} + 2 a x - 1) e^{x - 3}$ 的极值点，则 $f (x)$ 的极小值为．

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16. 如图，正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $1$ ， $△ B C D$ 的中心为 $O$ ，过点 $O$ 的平面 $α$ 与棱 $A B ， A C ， A D ， B D ， C D$ 所在的直线分别交于 $P ， Q ， R ， S ， T$ ，则 $\frac{1}{| \vec{A P} |} + \frac{1}{| \vec{A Q} |} + \frac{1}{| \vec{A R} |} =$ ．

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四、解答题

17. 在①椭圆 $C$ 的长轴长为8；②椭圆 $C$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 有相同的焦点；③ $F_{1}$ ， $F_{2}$ 与椭圆 $C$ 短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
问题：已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 垂直于 $x$ 轴的弦长为6，且 .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设点 $A (- 2 ， \sqrt{2})$ ，点 $M$ 是椭圆C上的任意一点，求 $| M A | + | M F_{2} |$ 的最大值．

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18. 已知函数 $f (x) = x - 4 \ln x + 8$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最值；

(2)、若 $f (x)$ 的极小值点为 $a$ ，记集合 $A = [1 ， a]$ ， $B = {x | b - 1 \leq x \leq b + 1}$ ，若“ $x \in B$ ”为“ $x \in A$ ”的充分不必要条件，求 $b$ 的取值范围．

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为线段 $A C_{1}$ 的中点， $N$ 为棱 $A_{1} D_{1}$ 的中点，且 $A A_{1} = A_{1} B_{1}$ ．

(1)、证明： $M N ⊥ A C_{1}$ ．

(2)、若 $B_{1} C_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 2$ ，求 $B_{1} M$ 与平面 $A C_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值．

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20. 在如图所示的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C // A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 4$ ， $B C = \frac{1}{2} A D = 3$ ， $P A = P B$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $P A$ ， $A D$ 的中点，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $E F //$ 平面 $P C D$ ．

(2)、若 $P A = 2 \sqrt{2}$ ，求二面角 $E - C F - A$ 的余弦值．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} a x + \frac{1}{2} x^{2} - a^{2} \ln x$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线与直线 $x - 3 y + 4 = 0$ 垂直，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设函数 $f (x)$ 的最小值为 $g (a)$ ，求函数 $g (a)$ 的最大值．

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22. 已知 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上两个不同的点， $C$ 的焦点为 $F$ ．

(1)、若直线 $A B$ 过焦点 $F$ ，且 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} = 32$ ，求 $| A B |$ 的值；

(2)、已知点 $P (- 2 ， 2)$ ，记直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{P A}$ ， $k_{P B}$ ，且 $k_{P A} + k_{P B} = - 1$ ，当直线 $A B$ 过定点，且定点在 $x$ 轴上时，点 $D$ 在直线 $A B$ 上，满足 $\vec{P D} \cdot \vec{A B} = 0$ ，求点 $D$ 的轨迹方程．

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