江苏省南京市鼓楼区2020-2021学年八年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 为了解某市5.4万名考生的中考数学成绩，从中抽出2000名考生的数学成绩进行调查，抽出的2000名考生的数学成绩是（）

A、样本容量 B、总体 C、个体 D、样本

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2. 中国古代的铜锁制作都十分精美，下面的四把锁中，从形状上看是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如果把分式 $\frac{x + y}{x y}$ 中的 $x$ ， $y$ 都扩大为原来的6倍，那么分式的值（）

A、不变 B、是原来的6倍 C、是原来的 $\frac{1}{6}$ D、是原来的 $\frac{1}{3}$

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4. 下列式子为最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{{(2 a + b)}^{2}}$ B、 $\sqrt{12 a}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $\sqrt{10}$

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5. 用配方法将 $2 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 变形，结果是（）

A、 $2 {(x - 1)}^{2} - 4 = 0$ B、 $2 {(x - 1)}^{2} - \frac{5}{2} = 0$ C、 ${(x - 1)}^{2} - \frac{5}{2} = 0$ D、 ${(x - 1)}^{2} - 5 = 0$

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6. 如图，在直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 9$ 的图象上有8个点，从左往右依次记为 $M_{1} (2 ， 8)$ ， $M_{2} (4 ， 7)$ ，…， $M_{8} (16 ， 1)$ （横坐标依次增加2个单位），要使这些点平均分布在函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象两侧，每侧4个点，则 $k$ 可以取到的整数值有（）

A、7个 B、8个 C、9个 D、10个

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二、填空题

7. 计算 $\sqrt{{(3 - π)}^{2}}$ 的结果是.

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8. 若分式 $\frac{x^{2} - x}{x}$ 的值为0，则x的值是.

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9. 不透明的袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和2个绿球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个红球是.（填“随机事件”，“必然事件”或“不可能事件”）

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10. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 4 x + m = 0$ 的两个根，且 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} = 2$ ，则 $m =$ .

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11. 某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是打乱顺序的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；②去图书馆收集学生借阅图书的记录；③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；④整理借阅图书记录并绘制频数分布表，正确统计步骤的顺序是．

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12. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与一次函数 $y = m x + n$ 的图象的交点的横坐标为1和-3，则关于 $x$ 的方程 $\frac{k}{x} = m x + n$ 的解是.

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13. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点 $N$ 在 $B C$ 边上，点 $M$ 为 $A B$ 边上的动点，点 $D$ 、 $E$ 分别为 $C N$ ， $M N$ 的中点，则 $D E$ 的最小值是.

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14. 如图， $A$ 、 $B$ 是直线 $b$ 上的两个定点，点 $C$ 、 $D$ 在直线 $a$ 上运动（点 $C$ 在点 $D$ 的左侧）， $A B = C D = 6 cm$ .已知 $a // b$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ 、 $B C$ ，把 $△ A B C$ 沿 $B C$ 折叠得 $△ A_{1} B C$ .当 $A$ 、 $D$ 两点重合时， $A C =$ $cm$ ；当 $A_{1}$ 、 $D$ 两点不重合时，若直线 $a$ 与 $b$ 距离为 $\sqrt{5} cm$ .若以 $A_{1}$ 、 $C$ 、 $B$ 、 $D$ 为顶点的四边形是矩形， $A C =$ .

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三、解答题

15. 计算：

(1)、 $(\sqrt{\frac{2}{15}} + 2 \sqrt{3}) \times \sqrt{15}$

(2)、 $\sqrt{8} + 3 \sqrt{\frac{1}{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \sqrt{3}$

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16. 化简代数式： $\frac{x + 4}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x}$ ，直接写出 $x$ 为何整数时，该代数式的值也为整数.

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17. 解下列方程

(1)、 $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1} = 0$

(2)、 $x^{2} - 2 x - 6 = 0$

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18. 按下列要求画 $▱ A B C D$ ，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上，

(1)、在图①中画 $▱ A B C D$ ，使它的周长是整数；

(2)、在图②中画 $▱ A B C D$ ，使它的周长不是整数（请标出必要的字母与线段长度）

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19. 为了支持新冠肺炎疫情防控工作，某区积极响应党的号召，鼓励老师们踊跃捐款.为了了解该区老师们的捐款情况，抽取了部分老师的捐款金额进行统计，数据整理成如下尚不完整的统计表和统计图.

某区教师捐款金额抽样统计表

组别	捐款金额（元）	人数
A	$x \leq 100$	2
B	$100 < x \leq 200$	10
C	$200 < x \leq 300$
D	$300 < x \leq 400$	14
E	$x > 400$	4

(1)、一共抽取了名老师；

(2)、补全条形统计图，并算出扇形统计图中

B

组对应扇形的圆心角度数为 ▲ °；

(3)、该社区共有1000名老师，请估计捐款金额超过300元的老师有多少名?

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20. 某中学八年级学生去距学校 $10 km$ 的汤山园博园参观，一部分学生骑自行车先走，过了 $\frac{1}{3} h$ 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C ⊥ B D$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ .

(1)、给出下列四个条件：① $A B = A D$ ；② $O A = O C$ ；③ $∠ A C B = ∠ A C D$ ；④ $A D // B C$ ，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形 $A B C D$ 是菱形，这个条件可以是（填写一个序号即可）；

(2)、根据你所选择的条件，证明四边形 $A B C D$ 是菱形.

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22. 将 $a$ 克糖放入水中，得到 $b$ 克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为 $\frac{a}{b} (b > a > 0)$ .

(1)、再往杯中加入 $m (m > 0)$ 克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______；

A、 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a + m}{b + m} = \frac{a}{b}$ C、 $\frac{a + m}{b + m} < \frac{a}{b}$

(2)、请证明你的选择.

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23.

(1)、用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 两边同时乘以 $4 a$ 并移项，得到 $4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = - 4 a c$ ，两边再同时加上 $b^{2}$ ，得（ ▲ ）² $= b^{2} - 4 a c$ .请用这样的方法解方程： $3 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ ；

(2)、华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 $x^{2} + b x + c = 0$ ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
$x^{2} + b x + c = (x - m) \cdot (x - n)$ （从这里可以看出方程的解为 $x_{1} = m$ ， $x_{2} = n$ ）

即 $x^{2} + b x + c = x^{2} - (m + n) x + m n$

因为 $m + n = - b$ ，所以 $m$ 、 $n$ 的平均数为 $- \frac{b}{2}$ ，不妨设 $m = - \frac{b}{2} + p$ ， $n = - \frac{b}{2} - p$ ，

利用 $x_{1} \cdot x_{2} = m n$ ，得 $(- \frac{b}{2} + p) \cdot (- \frac{b}{2} - p) = c$ ，所以 ${(- \frac{b}{2})}^{2} - p^{2} = c$ ，即能求出 $p$ 的值.

举例如下：解一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ ，由于 $- \frac{b}{2} = 1$ ，所以方程的两个根为 $1 \pm p$ ，而 $1^{2} - p^{2} = - 4$ ，解得 $p = \pm \sqrt{5}$ ，所以方程的解为 $x_{1} = 1 + \sqrt{5}$ ， $x_{2} = 1 - \sqrt{5}$ .

请运用以上方法解如下方程① $x^{2} - 2 \sqrt{3} x - 4 = 0$ ；② $3 x^{2} - \sqrt{11} x + \frac{1}{2} = 0$

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24. （性质认识）
如图，在函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上任取两点 $A$ 、 $B$ 向坐标轴作垂直，连接垂足 $C$ 、 $D$ 或 $E$ 、 $F$ ，则一定有如下结论： $A B // C D$ ， $A B // E F$ .

(1)、（数学理解）如图①，借助（性质认知）的结论，猜想 $A M$ $B N$ （填“>”、“=”或“<”）；

(2)、如图②，借助（性质认知）的结论，证明： $A M = B N$ ；

(3)、（问题解决）如图③，函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象与过原点的直线相交于 $B$ 、 $D$ 两点，点 $A$ 是第一象限内图象上的动点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），直线 $A B$ 分别交于 $y$ 轴、 $x$ 轴于点 $C$ 、 $E$ ，连接 $A D$ 分别交 $y$ 轴、 $x$ 轴于点 $M$ 、 $N$ .请证明： $A C = A M$ .

(4)、在第（3）问中，若 $A C = \sqrt{2} A B$ ，则 $\frac{A M}{A D} =$ .

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