江苏省南通市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-27 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 计算 $1 - 2$ ，结果正确的是（）

A、3 B、1 C、-1 D、-3

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2. 据报道：今年“五一”期间，苏通大桥、崇启大桥、沪苏通大桥三座跨江大桥车流量约1370000辆次.将1370000用科学记数法表示为（）

A、 $0.137 \times 10^{7}$ B、 $1.37 \times 10^{7}$ C、 $0.137 \times 10^{6}$ D、 $1.37 \times 10^{6}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{3} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 ${(a b)}^{3} = a b^{3}$

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4. 以下调查中，适宜全面调查的是（）

A、了解全班同学每周体育锻炼的时间 B、调查某批次汽车的抗撞击能力 C、调查春节联欢晚会的收视率 D、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数

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5. 如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）

A、三棱柱 B、圆柱 C、三棱锥 D、圆锥

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6. 菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（　　）

A、24 B、20 C、10 D、5

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7. 《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x = y + 4.5 \\ \frac{1}{2} x = y + 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x + 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = y + 4.5 \\ \frac{1}{2} x = y - 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x - 1 \end{array}$

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8. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 > 12 \\ x - a \leq 0 \end{array}$ 恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（）

A、 $7 < a < 8$ B、 $7 < a \leq 8$ C、 $7 \leq a < 8$ D、 $7 \leq a \leq 8$

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B / / D C ， D E ⊥ A B ， C F ⊥ A B$ ，垂足分别为E，F，且 $A E = E F = F B = 5 cm$ ， $D E = 12 cm$ .动点P，Q均以 $1 cm / s$ 的速度同时从点A出发，其中点P沿折线 $A D - D C - C B$ 运动到点B停止，点Q沿 $A B$ 运动到点B停止，设运动时间为 $t (s)$ ， $△ A P Q$ 的面积为 $y ({cm}^{2})$ ，则y与t对应关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = 2 x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 2)$ 相交于A，B两点，其中点A在第一象限.设 $M (m ， 2)$ 为双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 2)$ 上一点，直线 $A M$ ， $B M$ 分别交y轴于C，D两点，则 $O C - O D$ 的值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、填空题

11. 分解因式： $x^{2} - 9 y^{2} =$

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12. 正五边形每个内角的度数是.

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13. 圆锥的母线长为 $2cm$ ，底面圆的半径长为 $1cm$ ，则该圆锥的侧面积为 ${cm}^{2}$ .

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14. 下表中记录了一次试验中时间和温度的数据.

时间/分钟

0

5

10

15

20

25

温度/℃

10

25

40

55

70

85

若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是℃.

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15. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 $60 °$ 方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 $45 °$ 方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）.

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16. 若m，n是一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{m^{3} + m^{2} n}{3 m - 1}$ 的值为.

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17. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (m ， 3 n^{2} - 9)$ ，且实数m，n满足 $m - n^{2} + 4 = 0$ ，则点P到原点O的距离的最小值为.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，以点A为圆心， $A B$ 长为半径画弧，交 $A C$ 延长线于点D，过点C作 $C E / / A B$ ，交 $\overset{⌢}{B D}$ 于点 $E$ ，连接BE，则 $\frac{C E}{B E}$ 的值为.

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三、解答题

19.

(1)、化简求值： ${(2 x - 1)}^{2} + (x + 6) (x - 2)$ ，其中 $x = - \sqrt{3}$ ；

(2)、解方程 $\frac{2}{x - 3} - \frac{3}{x} = 0$ .

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20. 如图，利用标杆 $D E$ 测量楼高，点A，D，B在同一直线上， $D E ⊥ A C$ ， $B C ⊥ A C$ ，垂足分别为E，C.若测得 $A E = 1 m$ ， $D E = 1.5 m$ ， $C E = 5 m$ ，楼高 $B C$ 是多少？

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21. 某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查.在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表.

甲、乙两种西瓜得分表

序号	1	2	3	4	5	6	7
甲种西瓜（分）	75	85	86	88	90	96	96
乙种西瓜（分）	80	83	87	90	90	92	94

甲、乙两种西瓜得分统计表

	平均数	中位数	众数
甲种西瓜	88	a	96
乙种西瓜	88	90	b

(1)、

a =

，

b =

；

(2)、从方差的角度看，种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；

(3)、小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些.请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由.

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22. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4

(1)、随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为；

(2)、随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球.求两次取出小球标号的和等于5的概率.

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23. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C为 $⊙ O$ 上一点，弦 $A E$ 的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D， $∠ C A D = 35 °$ ，连接 $B C$ .

(1)、求 $∠ B$ 的度数；

(2)、若 $A B = 2$ ，求 $\overset{⌢}{E C}$ 的长.

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24. A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：
A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；

B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折.

例如，一次购物的商品原价为500元，

去A超市的购物金额为： $300 \times 0.9 + (500 - 300) \times 0.7 = 410$ （元）；

去B超市的购物金额为： $100 + (500 - 100) \times 0.8 = 420$ （元）.

(1)、设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；

(2)、促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由.

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25. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点E在边 $A D$ 上（不与端点A，D重合），点A关于直线 $B E$ 的对称点为点F，连接 $C F$ ，设 $∠ A B E = α$ .

(1)、求 $∠ B C F$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）；

(2)、过点C作 $C G ⊥ A F$ ，垂足为G，连接 $D G$ .判断 $D G$ 与 $C F$ 的位置关系，并说明理由；

(3)、将 $△ A B E$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ C B H$ ，点E的对应点为点H，连接 $B F$ ， $H F$ .当 $△ B F H$ 为等腰三角形时，求 $\sin α$ 的值.

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26. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”.例如，点 $(1 ， 1)$ 是函数 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ 的图象的“等值点”.

(1)、分别判断函数 $y = x + 2 ， y = x^{2} - x$ 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

(2)、设函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0) ， y = - x + b$ 的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作 $B C ⊥ x$ 轴，垂足为C.当 $△ A B C$ 的面积为3时，求b的值；

(3)、若函数 $y = x^{2} - 2 (x \geq m)$ 的图象记为 $W_{1}$ ，将其沿直线 $x = m$ 翻折后的图象记为 $W_{2}$ .当 $W_{1} ， W_{2}$ 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围.

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时间/分钟	0	5	10	15	20	25
温度/℃	10	25	40	55	70	85