湖南省湘西土家族苗族自治州2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-27 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 实数2021的相反数是（）

A、2021 B、-2021 C、 $\frac{1}{2021}$ D、 $- \frac{1}{2021}$

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2. 计算 $-1+3$ 的结果是（）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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3. 在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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4. 下列计算结果正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ B、 ${(- b c)}^{4} \div {(- b c)}^{2} = - b^{2} c^{2}$ C、 $1 + \frac{1}{a} = \frac{2}{a}$ D、 $a \div b \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b^{2}}$

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5. 工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A C$ 的中点， $E F // C D$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ，如果 $E F = 5.5$ ，那么菱形 $A B C D$ 的周长是（）

A、11 B、22 C、33 D、44

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7. 如图，在 $Δ E C D$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B ⊥ E C$ 于点 $B$ ， $A B = 1.2$ ， $E B = 1.6$ ， $B C = 12.4$ ，则 $C D$ 的长是（）

A、14 B、12.4 C、10.5 D、9.3

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8. 如图，面积为18的正方形 $A B C D$ 内接于⊙O，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长度为（）

A、 $9 π$ B、 $\frac{9}{2} π$ C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $\frac{9}{4} π$

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9. 如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为 $y = \frac{2}{x - 1}$ 的函数图象.根据这个函数的图象，下列说法正确的是（）

A、图象与 $x$ 轴没有交点 B、当 $x > 0$ 时 $y > 0$ C、图象与 $y$ 轴的交点是 $(0 ， - \frac{1}{2})$ D、 $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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10. 已知点 $M (x ， y)$ 在第一象限，且 $x + y = 12$ ，点 $A (10 ， 0)$ 在 $x$ 轴上，当 $Δ O M A$ 为直角三角形时，点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(10 ， 2)$ ， $(8 ， 4)$ 或 $(6 ， 6)$ B、 $(8 ， 4)$ ， $(9 ， 3)$ 或 $(5 ， 7)$ C、 $(8 ， 4)$ ， $(9 ， 3)$ 或 $(10 ， 2)$ D、 $(10 ， 2)$ ， $(9 ， 3)$ 或 $(7 ， 5)$

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二、填空题

11. 计算： ${(- \frac{1}{2})}^{2} =$ .

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12. 北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星.其中，400000用科学记数法可以表示为.

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13. 因式分解： $a^{2} - 2 a =$ .

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14. 若二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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15. 实数 $m$ ， $n$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的两个根，则多项式 $m n - m - n$ 的值为.

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16. 若式子 $\frac{2}{y - 2} + 1$ 的值为零，则 $y$ ＝.

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17. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 $A B$ 、 $C D$ ，若 $C D // B E$ ， $∠ 1 =20 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是.

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18. 古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示.根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为 $a_{1} = 1$ ，第二个图形表示的三角形数记为 $a_{2} = 3$ ，…，则第 $n$ 个图形表示的三角形数 $a_{n}$ ＝.（用含 $n$ 的式子表达）

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三、解答题

19. 计算： ${(- 2)}^{0} - \sqrt{8} - | - 5 | + 4 \sin 45 °$ .

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20. 解不等式组： ${\begin{matrix} 3 (x - 1) > x \\ 1 - 2 x \geq \frac{x - 3}{2} \end{matrix}$ ，并在数轴上表示它的解集.

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21. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 在 $A B$ 边上， $C B = C D$ ，将边 $C A$ 绕点 $C$ 旋转到 $C E$ 的位置，使得 $∠ E C A = ∠ D C B$ ，连接 $D E$ 与 $A C$ 交于点 $F$ ，且 $∠ B = 70 °$ ， $∠ A = 10 °$ .

(1)、求证： $A B = E D$ ；

(2)、求 $∠ A F E$ 的度数.

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22. 为庆祝中国共产党成立100周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号如表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目.为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查.根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.

活动名称

朗诵

合唱

舞蹈

绘画

征文

活动代号

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

(1)、该校此次调查共抽取了名学生；

(2)、请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；

(3)、若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动.

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23. 有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁” $C H$ 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶 $C$ 处的仰角为30°，在平地上 $B$ 处观测到楼顶 $C$ 处的仰角为 $45 °$ ，并测得A、 $B$ 两处相距 $20 m$ ，求“一心阁” $C H$ 的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} = 1.73$ ）

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24. 如图， $A B$ 为⊙ $O$ 的直径， $C$ 为⊙O上一点， $A D$ 和过点 $C$ 的切线互相垂直，垂足为 $D$ .

(1)、求证： $A C$ 平分 $∠ D A B$ ；

(2)、若 $A D = 8$ ， $\tan ∠ C A B = \frac{3}{4}$ ，求：边 $A C$ 及 $A B$ 的长.

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25. 2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大.网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向 $A$ 、 $B$ 两个不同需求学生群体的微课视频.已知制作3个 $A$ 类微课和5个 $B$ 类微课需要4600元成本，制作5个 $A$ 类微课和10个 $B$ 类微课需要8500元成本.李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个 $A$ 类微课售价1500元，每个 $B$ 类微课售价1000元.该团队每天可以制作1个 $A$ 类微课或者1.5个 $B$ 类微课，且团队每月制作的 $B$ 类微课数不少于 $A$ 类微课数的2倍（注：每月制作的 $A$ 、 $B$ 两类微课的个数均为整数）.假设团队每月有22天制作微课，其中制作 $A$ 类微课 $a$ 天，制作 $A$ 、 $B$ 两类微课的月利润为 $w$ 元.

(1)、求团队制作一个 $A$ 类微课和一个 $B$ 类微课的成本分别是多少元？

(2)、求 $w$ 与 $a$ 之间的函数关系式，并写出 $a$ 的取值范围；

(3)、每月制作 $A$ 类微课多少个时，该团队月利润 $w$ 最大，最大利润是多少元？

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26. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、连接 $B C$ ，求直线 $B C$ 的解析式；

(3)、请在抛物线的对称轴上找一点 $P$ ，使 $A P + P C$ 的值最小，求点 $P$ 的坐标，并求出此时 $A P + P C$ 的最小值；

(4)、点 $M$ 为 $x$ 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 $N$ ，使得以 $A$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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活动名称	朗诵	合唱	舞蹈	绘画	征文
活动代号	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$