长春市二道区重点高中2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-27 类型：期末考试

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一、选择题（每题5分，共60分）

1. 复数 $3 - 4 i$ 的虚部是（）

A、4 B、-4 C、4i D、 $- 4 i$

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2. 若向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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3. 若 $a 、 b$ 为异面直线，直线 $c / / a$ ，则c与b的位置关系是（）

A、相交 B、异面 C、平行 D、异面或相交

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4. 某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为150的样本，已知从学生中抽取的人数为135，那么该学校的教师人数是（）

A、15 B、200 C、240 D、2160

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5. 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）

A、众数 B、平均数 C、中位数 D、标准差

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6. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $(a^{2} + c^{2} - b^{2}) \tan B = \sqrt{3} a c$ ，则角B的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

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7. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (x ， 4)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、8

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8. 如果 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 的方差是 $\frac{1}{3}$ ，则 $3 x_{1}$ ， $3 x_{2}$ ， $3 x_{3}$ ， $3 x_{4}$ 的方差为（）。

A、9 B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、6

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9. 先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为x，y，则事件“ $\log_{2 x} y = 1$ ”的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{5}{36}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 下列命题中，正确的是（）

A、若 $a / / b ， b \subset α ，$ 则 $a / / α$ B、若 $a / / α$ ， $b \subset α$ 则 $a / / b$ C、若 $a / / α ， b / / α$ ，则 $a / / b$ D、若 $a / / b ， b / / α$ $， a ⊄ α$ 则 $a / / α$

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11. 已知 $C$ 为 $Δ A B C$ 的一个内角，向量 $\overset{⇀}{m} = (2 \cos C - 1 ， - 2) ， \overset{⇀}{n} = (\cos C ， \cos C + 1)$ .若 $\overset{⇀}{m} ⊥ \overset{⇀}{n}$ ，则角 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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12. 在 $Δ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，若 $a = \sqrt{13}$ ， $c = 3$ ，且 $2 a b \sin C = \sqrt{3} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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二、填空题（每题5分，共20分）

13. 设复数 $z = 1 - 2 i$ （i是虚数单位），则 $| z | =$ .

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14. 已知 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3 \vec{b}) = - 18$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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15. 甲､乙两人下棋，甲获胜的概率为 $\frac{1}{5}$ ，和棋的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则乙不输的概率为.

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16. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 3 \sqrt{2} ， \cos C = \frac{1}{3} ， S_{△ A B C} = 4 \sqrt{3}$ ，则 $b =$

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三、解答题（每题13分，共65分）

17. 某单位有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8，现在通过某项检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期检查．

(1)、求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？

(2)、若所抽取的6人中恰有2人合格，4人不合格，现从这6人中再随机抽取2人检查，求至少有1人合格的概率．

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18. 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示.

(1)、求频率分布直方图中a的值；

(2)、分别求出成绩落在 $[50 ， 60)$ 与 $[60 ， 70)$ 中的学生人数；

(3)、从成绩在 $[50 ， 70)$ 的学生中任选2人，求此2人的成绩都在 $[60 ， 70)$ 中的概率.

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19. 已知向量 $\vec{a} =$ （cosx， $\sqrt{3}$ cosx）， $\vec{b} =$ （cosx，sinx）．

(1)、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求x的值；

(2)、若f（x） $= \vec{a}$ • $\vec{b}$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求f（x）的最大值及相应x的值．

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20. 如图，在三棱锥P-ABC中， $∠ A C B = 90^{°}$ ， $P A ⊥$ 底面ABC.

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面PBC；

(2)、若 $A C = B C = P A$ ，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值.

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21. 在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $(a^{2} + b^{2} - c^{2}) \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} a b$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $C > \frac{π}{4}$ ， $c = 5$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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22. 在 $Δ A B C$ 中，若 $\sin^{2} C = 3 \sin^{2} A + 3 \sin^{2} B - 2 \sqrt{3} \sin A \sin B \sin C$ ，则角 $C =$ ．

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