湖北省荆门市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-27 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 2021的相反数的倒数是（）.

A、 -2021 B、2021 C、 $- \frac{1}{2021}$ D、 $\frac{1}{2021}$

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2. “绿水青山就是金山银山”.某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资 $1.102 \times 10^{8}$ 元资金.数据 $1.102 \times 10^{8}$ 用科学记数法可表示为（）

A、10.12亿 B、1.012亿 C、101.2亿 D、1012亿

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3. 下列图形既是中心对称又是轴对称的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（）

A、传 B、国 C、承 D、基

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5. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- x^{3})}^{2} = x^{5}$ B、 $\sqrt{{(- x)}^{2}} = x$ C、 ${(- x)}^{2} + x = x^{3}$ D、 ${(- 1 + x)}^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

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6. 我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x + 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ 2 y = x - 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ 2 y = x + 1 \end{array}$

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7. 如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设 $∠ 1 = 30 °$ ，那么 $∠ 2 =$ （）

A、 $55 °$ B、 $65 °$ C、 $75 °$ D、 $85 °$

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8. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若 $∠ P = 70 °$ ，则 $∠ A B O =$ （）

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $45 °$ D、 $55 °$

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9. 在同一直角坐标系中，函数 $y = k x - k$ 与 $y = \frac{k}{| x |} (k \neq 0)$ 的大致图象是（）

A、①② B、②③ C、②④ D、③④

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10. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c为常数）开口向下且过点 $A (1 ， 0)$ ， $B (m ， 0)$ （ $- 2 < m < - 1$ ），下列结论：① $2 b + c > 0$ ；② $2 a + c < 0$ ；③ $a (m + 1) - b + c > 0$ ；④若方程 $a (x - m) (x - 1) - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $4 a c - b^{2} < 4 a$ .其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

11. 计算： $| 1 - \sqrt{2} | + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + 2 \cos 45 ° + {(- 1)}^{0} =$ .

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12. 把多项式 $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$ 因式分解，结果为.

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13. 如图，在平面直角坐标系中， $R t △ O A B$ 斜边上的高为1， $∠ A O B = 30 °$ ，将 $R t △ O A B$ 绕原点顺时针旋转 $90 °$ 得到 $R t △ O C D$ ，点A的对应点C恰好在函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，若在 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上另有一点M使得 $∠ M O C = 30 °$ ，则点M的坐标为.

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14. 如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为．

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15. 如果关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} - (x - a) < 3 \\ \frac{1 + 2 x}{3} ⩾ x - 1 \end{array}$ 恰有2个整数解，则a的取值范围是.

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16. 如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第行第列.

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $\frac{x}{x - 4} \cdot (\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4})$ ，其中 $x = 3 - \sqrt{2}$ .

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18. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动.某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如下的统计图.

(1)、这次预赛中二班成绩在B等及以上的人数是多少？

(2)、分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；

(3)、已知一班成绩A等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率.

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19. 如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点， $∠ A E F = 90 °$ ，且 $E F = A E$ ， $F H ⊥ B H$ .

(1)、求证： $B E = C H$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $B E = x$ ，用x表示DF的长.

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20. 某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 $10 (3 + \sqrt{3})$ 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 $60 °$ 的方向上，当海监船行驶 $20 \sqrt{2}$ 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东 $45 °$ 方向上.

(1)、求A，P之间的距离AP；

(2)、若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

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21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 2 m - 1 = 0$ 有 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 两实数根.

(1)、若 $x_{1} = 1$ ，求 $x_{2}$ 及 $m$ 的值；

(2)、是否存在实数 $m$ ，满足 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = \frac{6}{m - 5}$ ？若存在，求出求实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，点E在BC边上，过A，C，E三点的 $⊙ O$ 交AB边于另一点F，且F是弧AE的中点，AD是 $⊙ O$ 的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点.

(1)、求证：四边形CDMF为平行四边形；

(2)、当 $C D = \frac{2}{5} A B$ 时，求 $\sin ∠ A C F$ 的值.

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23. 某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据.

x

40

70

90

y

180

90

30

W

3600

4500

2100

(1)、求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

(2)、若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；

(3)、因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（ $m > 0$ ），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值.

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 交x轴于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，交y轴于点 $C (0 ， - 3)$ ，点Q为线段BC上的动点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求 $| Q O | + | Q A |$ 的最小值；

(3)、过点Q作 $P Q / / A C$ 交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记 $△ P A Q$ 与 $△ P B Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，设 $S = S_{1} + S_{2}$ ，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值.

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x	40	70	90
y	180	90	30
W	3600	4500	2100