河南省豫西名校联盟2020-2021学年高一上学期数学测试试卷（一）

试卷更新日期：2021-07-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | - 1 < x < 4}$ ， $B = {- 1$ ，0，1，2，3， $4}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 设 $α$ ， $β$ 是两个平面， $m$ ， $l$ 是两条直线，已知 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ， $l ⊥ m$ ，则要使 $l ⊥ β$ ，可以添加条件（）

A、 $l ⊥ α$ B、 $l ⊄ α$ C、 $l$ 与 $m$ 异面 D、 $l \subset α$

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3. 已知直线 $l_{1} ： a x + y - 1 = 0$ ，直线 $l_{2} ： x - y - 3 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4. 函数 $y = \frac{\sqrt{3 - x}}{l n (x - 2)}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(2$ ， $3]$ C、 $(2, 3)$ D、 $(2, + \infty)$

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5. 若 $l n a = \log_{\frac{1}{3}} b = 2^{c} < 1$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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6. 函数 $f (x) = \lg x - \frac{1}{x}$ 的零点所在的区间是（）（可能用到的数据： $\sqrt{10} \approx 3.16$ ， $\sqrt[3]{10} \approx 2.15$ ）

A、（0.1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）

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7. 函数 $f (x) = \frac{{(- x)}^{2}}{| 2^{x} - 1 |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知直线 $l_{1}$ 与 $l_{2} ： 2 x - y - 3 = 0$ 平行，且 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离为 $\sqrt{5}$ ，则直线 $l_{1}$ 的方程为（）

A、 $2 x + y - 3 = 0$ 或 $2 x + y - 9 = 0$ B、 $2 x - y - 6 = 0$ 或 $2 x - y - 12 = 0$ C、 $2 x - y + 2 = 0$ 或 $2 x - y - 8 = 0$ D、 $3. x - 2 y + 5 = 0$ 或 $3 x - 2 y - 7 = 0$

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9. 中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形、且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，现有一“堑堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ，且“阳马” $B - A_{1} A C C_{1}$ 的体积为 $\frac{16 \sqrt{5}}{3}$ ，则“堑堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球体积为（）

A、36π B、10π C、8π D、6π

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10. 已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $x$ 都有 $f (- x) + f (x) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ ，则不等式 $f (\ln x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(\frac{1}{e} ， 1)$ B、 $(e ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{e} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{e} ， 1) \cup (e ， + \infty)$

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11. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点， $2 P A = P B$ ， $∠ A P C = 30 °$ ，则 $P D$ 与平面 $A B C$ 所成的角为（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足条件 $f (x - 2) = f (x)$ ，且函数 $y = f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in [0$ ， $1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则方程 $f (x) - \frac{1}{2} = 0$ 在 $[- 1$ ， $3]$ 上的实根之和为（）

A、4 B、3 C、 $2 + \log_{2} 3$ D、 $3 - \log_{2} 3$

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二、填空题

13. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(\frac{1}{2}$ ， $4)$ ，则 $f$ （3）=.

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14. 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为.

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15. 已知偶函数 $f (x)$ 在 $[0$ ， $+ \infty)$ 上单调递减，且 $f$ （2） $= 0$ ，则不等式 $x \cdot f (x) > 0$ 的解集为.

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16. 已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球的表面积的 $\frac{4}{25}$ ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.

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三、解答题

17.

(1)、已知 $x > 0$ ，化简： $\frac{\sqrt{x^{2} \sqrt{x}}}{x^{0.25}}$ ；

(2)、求值： $\log_{9} 3 - 2^{1 - l o g_{2} 3} + {(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}} - {(\sqrt{3} + 1)}^{0}$ .

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18. 如图，在三棱锥 $C - A B D$ 中，底面 $△ A B D$ 是边长为2的等边三角形， $C D = 2$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $M$ ， $N$ ， $G$ 分别为 $A C$ ， $B C$ ， $A B$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $M N ⊥$ 平面 $G D C$ ；

（Ⅱ）求三棱锥 $B - C D G$ 的体积.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 2 a x + 1 - b$ ， $f (x)$ 在区间 $[0$ ， $1]$ 上的最大值为2，最小值为-1.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $a \neq b$ ，函数 $g (x) = f (x) - m x$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上没有最值，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 已知点 $A (0 ， 4)$ 与点 $B$ 关于直线 $l_{0} ： x + 2 y - 3 = 0$ 对称.
（Ⅰ）求 $B$ 点的坐标；

（Ⅱ）一条光线沿直线 $l ： x - y + 4 = 0$ 入射到直线 $l_{0}$ 后反射，求反射光线所在的直线方程.

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21. 如图所示，在四棱锥 $Р - A B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ， $A B // C D$ ， $C D = 2 A B$ ， $P A = P D$ ， $E$ 是 $P B$ 的中点， $F$ 在 $C D$ 上且 $D F = \frac{1}{4} C D$ ， $H$ 是 $A D$ 的中点．

（Ⅰ）证明： $P H ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

（Ⅱ）证明： $E F //$ 平面 $P A D$ ；

（Ⅲ）若 $P A = \sqrt{5}$ ， $A D = C D = 2$ ，求三棱锥 $E - B C F$ 的体积.

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22. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a} + \frac{a}{e^{x}} - 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0$ ， $+ \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的最大值；

(2)、当 $a$ 取（1）中的最大值时，若存在 $x ⩾ 0$ ，使得不等式 $m f (x) ⩽ e^{- x} - m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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