高中数学人教A版（2019）选修一第一章空间向量与立体几何

试卷更新日期：2021-07-24 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量 $\vec{a}$ = $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ ，向量 $\vec{b} =$ $\vec{O A} + \vec{O B} - \vec{O C}$ ，则不能与 $\vec{a}, \vec{b}$ 构成空间的一个基底的是（）

A、 $\vec{O A}$ B、 $\vec{O B}$ C、 $\vec{O C}$ D、 $\vec{O A}$ 或 $\vec{O B}$

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2. 对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系： $6 \vec{O P} = \vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C}$ ，则（）

A、四点O，A，B，C必共面 B、四点P，A，B，C必共面 C、四点O，P，B，C必共面 D、五点O，P，A，B，C必共面

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3. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点，且 $\overset{⇀}{B F} = 2 \overset{⇀}{F E}$ ，则 $\overset{⇀}{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ B、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A D}$ D、 $- \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A D}$

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4. 已知向量 $\vec{A B}$ =（1，5，﹣2）， $\vec{B C}$ =（3，1，2）， $\vec{D E}$ =（x，﹣3，6）．若DE∥平面ABC，则x的值是（）

A、5 B、3 C、2 D、﹣1

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5. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3) ， \vec{b} = (- 4 ， 2 ， x)$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 则x=（）

A、10 B、 $\frac{10}{3}$ C、3 D、 $- \frac{10}{3}$

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6. 如图，四边形 $A B C D$ ， $A B = B D = D A = 4$ ， $B C = C D = 2 \sqrt{2}$ ，现将 $Δ A B D$ 沿 $B D$ 折起，当二面角 $A - B D - C$ 的大小在 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 时，直线 $A B$ 和 $C D$ 所成角为 $α$ ，则 $cos α$ 的最大值为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D是AC的中点，AB₁⊥BC₁ ，则平面DBC₁与平面CBC₁所成的角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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8. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱长与底面边长相等，则AB₁与侧面ACC₁A₁所成角的正弦值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{17}{18}$

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二、多选题

9. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 4$ ， $A A_{1} = 3$ ，以直线 $D A$ ， $D C$ ， $D D_{1}$ 分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴建立空间直角坐标系，则（）

A、点 $B_{1}$ 的坐标为 $(5 ， 4 ， 3)$ B、点 $C_{1}$ 关于点 $B$ 对称的点为 $(8 ， 5 ， - 3)$ C、点 $A$ 关于直线 $B D_{1}$ 对称的点为 $(0 ， 5 ， 3)$ D、点 $C$ 关于平面 $A B B_{1} A_{1}$ 对称的点为 $(8 ， - 5 ， 0)$

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10. 空间直角坐标系中，下列说法正确的是（）

A、点 $P (1, 2, 3)$ 关于坐标平面 $x O y$ 的对称点的坐标为 $(- 1, 2, - 3)$ B、点 $Q (1, 0, 2)$ 在平面 $x O z$ 面上 C、 $z = 1$ 表示一个与坐标平面 $x O y$ 平行的平面 D、 $2 x + 3 y = 6$ 表示一条直线

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11. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1, 0)$ ，则与 $\vec{a}$ 共线的单位向量 $\vec{e} =$ （）

A、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ B、 $(0, 1, 0)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ D、 $(- 1, - 1, 0)$

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12. 设动点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B D_{1}$ 上，记 $\vec{D_{1} P} = λ \vec{D_{1} B}$ 当 $∠ A P C$ 为钝角时，则实数可能的取值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

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三、填空题

13. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $M (1, - 1, 1)$ 关于 $x$ 轴的对称点坐标是.

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14. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形， $O$ 为底面中心， $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ .平面 $O C B_{1}$ 的法向量 $\vec{n} =$ .

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15. 已知 $\overset{⇀}{a} = (2, 1, 3)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 4, 2, x)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | =$ .

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16. 已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是．

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四、解答题

17. 如图所示，N，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 表示 $\vec{O P}$ 和 $\vec{O Q}$ .

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18. 已知 $\vec{a} = (1 ， 5 ， - 1) ， \vec{b} = (- 2 ， 3 ， 5)$

(1)、若(k $\vec{a}$ + $\vec{b}$ )∥( $\vec{a}$ −3 $\vec{b}$ ) ，求实数 k 的值；

(2)、若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 3 \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值．

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19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD ，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD ， AB∥CD ， AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．

(1)、求证：平面EAC⊥平面PBC；

(2)、若二面角P－AC－E的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

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20. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．

(1)、证明：PE⊥BC；

(2)、若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

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21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC⊥PB，PC与平面ABCD所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，△BCD为等边三角形，PA=2 $\sqrt{2}$ ，AB=AD，E为PC的中点．

(1)、求AB；

(2)、求点E到平面PBD的距离．

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22. 四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC，AC与BD交于点O．

(1)、求证：PB⊥AC；

(2)、若平面PAC⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB=2，求点O到平面PBC的距离．

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高中数学人教A版（2019） 选修一 第一章 空间向量与立体几何

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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