高中数学人教A版（2019）必修二期末考试模拟试题

试卷更新日期：2021-07-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线l，在平面α内一定存在一条直线m，使得直线l与直线m（）

A、平行 B、相交 C、异面 D、垂直

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2. 若复数 $z = (- 3 - 2 i) i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、-3 B、 $- 3 i$ C、2 D、 $2 i$

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3. 如图所示的四组数据，标准差最小的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体 $A B C D E F$ 是一个刍甍，其中 $△ B C F$ 是正三角形， $A B = 2 B C = 2 E F$ ，则以下两个结论：① $A B / / E F$ ；② $B F ⊥ E D$ ，（）

A、①和②都不成立 B、①成立，但②不成立 C、①不成立，但②成立 D、①和②都成立

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5. 现对 $A, B$ 有如下观测数据

$A$

3

4

5

6

7

$B$

16

15

13

14

17

记本次测试中， $A, B$ 两组数据的平均成绩分别为 ${\bar{x}}_{A}, {\bar{x}}_{B}$ ， $A, B$ 两班学生成绩的方差分别为 $S_{A}^{2}$ ， $S_{B}^{2}$ ，则（）

A、 ${\bar{x}}_{A} < {\bar{x}}_{B}$ ， $S_{A}^{2} < S_{B}^{2}$ B、 ${\bar{x}}_{A} > {\bar{x}}_{B}$ ， $S_{A}^{2} < S_{B}^{2}$ C、 ${\bar{x}}_{A} < {\bar{x}}_{B}$ ， $S_{A}^{2} = S_{B}^{2}$ D、 ${\bar{x}}_{A} > {\bar{x}}_{B}$ ， $S_{A}^{2} = S_{B}^{2}$

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6. 已知从某中学高一年级随机抽取20名女生，测量她们的身高（单位：cm），把这20名同学的身高数据从小到大排序：
148.0 149.0 150.0 152.0 154.0 154.0 155.0 155.5 157.0 157.0

158.0 159.0 161.0 162.0 163.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0

则这组数据的第75百分位数是（）

A、163.0 B、164.0 C、163.5 D、164.5

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7. 已知三条不重合的直线 $m$ ， $n$ ， $l$ ，三个不重合的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则（）

A、若 $m // n$ ， $n \subset α$ ，则 $m // α$ B、若 $l ⊥ α$ ， $m \subset β$ ， $l ⊥ m$ ，则 $α // β$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $α \cap β ＝ l$ ，则 $l ⊥ γ$ D、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m // β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$

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8. 为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图，则采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为（）

A、 $22.5 %$ B、 $27.5 %$ C、 $32.5 %$ D、 $37.5 %$

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二、多选题

9. 已知 $i$ 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A、 $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = 0$ B、若 $z = {(1 + 2 i)}^{2}$ ，则复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于第二象限 C、已知复数 $z = x + y i (x, y \in R)$ 且 $| z - 1 | = | z - i |$ ，则 $x = y$ D、若复数 $(m^{2} + 3 m - 4) + (m^{2} - 2 m - 24) i$ 是纯虚数，则 $m = 1$ 或 $m = - 4$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (λ ， 1) ， \vec{b} = (1 ， - 2)$ ，记向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为θ，则（）

A、 $λ > 2$ 时，θ为锐角 B、 $λ < 2$ 时，θ为钝角 C、 $λ = 2$ 时，θ为直角 D、 $λ = - \frac{1}{2}$ 时，θ为平角

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11. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 $A =$ “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 $B =$ “抽取的两个小球标号之积大于8”，则（）

A、事件A发生的概率为 $\frac{1}{2}$ B、事件 $A \cup B$ 发生的概率为 $\frac{11}{20}$ C、事件 $A \cap B$ 发生的概率为 $\frac{2}{5}$ D、从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为 $\frac{1}{5}$

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12. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件 $M =$ “第一枚骰子的点数为奇数”，事件 $N =$ “第二枚骰子的点数为偶数”，则（）

A、M与N互斥 B、M与N不对立 C、M与N相互独立 D、 $P (M \cup N) = \frac{3}{4}$

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三、填空题

13. 若向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，且 $(\vec{a} - λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ$ 的值为

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14. 为了研究疫情病毒和人的血型间的关系，在被感染的2400人中，O型血有800人，A型血有600人，B型血有600人，AB型血有400人．在这2400人中，采用分层抽样的方法抽取一个容量为120人的样本，则应从O型血中抽取的人数为．

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15. 现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是.

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16. 在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为矩形， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P$ ， $Q$ 分别是线段 $B S ， A D$ 的中点，点 $R$ 在线段 $S D$ 上，若 $A S = 4$ ， $A D = 2$ ， $A R ⊥ P Q$ ，则 $A R =$ .

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四、解答题

17. 袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是 $\frac{5}{9}$ ，得到黄球或绿球的概率是 $\frac{2}{3}$ ，试求：

(1)、从中任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率各是多少？

(2)、从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？

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18. 某次联欢会上设有一个抽奖游戏抽奖箱中共有16个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表－等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项．其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖．从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为 $\frac{7}{16}$ ，小华同学获得一次摸奖机会．

(1)、求他不能中奖的概率；

(2)、若该同学中一等奖或二等奖的概率是 $\frac{1}{4}$ ，试计算黄球的个数．

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19. 如图，四边形 $C D E F$ 为正方形， $A B // C D$ ， $A B = 2 B C = 2 C D$ ，点 $Q$ 为 $B F$ 的中点．

(1)、求证： $B D //$ 平面 $C E Q$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 30 °$ ， $A C ⊥ B F$ ，求平面 $C E Q$ 与平面 $A B C D$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $G$ 为 $F C$ 的中点，平面 $A B F E \cap$ 平面 $C D E F = E F$ ， $M$ 为线段 $C D$ 上的一点， $B M ⊥ F C$ ， $△ B F C$ 是等边三角形.

(1)、证明： $A F //$ 平面 $B D G$ ；

(2)、证明： $A B // E F$ ；

(3)、证明：平面 $B G M$ $⊥$ 平面 $B F C$ .

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21. 习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取

n

位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分

100

分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：

调查评分	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
心理等级	有隐患		一般		良好	优秀

并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在 $[70 ， 80)$ 的市民为 $400$ 人.

(1)、求

n

的值及频率分布直方图中

t

的值；

(2)、在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取3人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在

[40 ， 50)

的市民心理等级转为 “良好”的概率为

\frac{1}{4}

，调查评分在

[50 ， 60)

的市民心理等级转为“良好”的概率为

\frac{1}{3}

，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的

3

人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?

(3)、心理调查机构与该市管理部门设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于0.8则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)

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22. 如图1，等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C ， A B = A D ， ∠ A B C = 60^{°}$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点.将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折起后如图2，使二面角 $B - A E - C$ 成直二面角，设 $F$ 是 $C D$ 的中点， $P$ 是棱 $B C$ 的中
点.

(1)、求证： $A E ⊥ B D$ ；

(2)、求证：平面 $P E F ⊥$ 平面 $A E C D$ ；

(3)、判断 $D E$ 能否垂直于平面 $A B C$ ，并说明理由.

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$A$	3	4	5	6	7
$B$	16	15	13	14	17

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