广西桂林市2020-2021学年高一下学期数学期末质量检测试卷

试卷更新日期：2021-07-23 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

1. $\sin (- 60 °)$ 的值等于（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知点 $A (3 ， 6)$ ， $B (2 ， 5)$ ，则向量 $\vec{A B} =$ （）

A、 $(1 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， - 1)$ C、 $(5 ， 11)$ D、 $(6 ， 30)$

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3. 已知圆 $C ： {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，则其圆心的坐标为（）

A、 $(1 ， - 2)$ B、 $(- 1 ， - 2)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(1 ， 2)$

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4. 在空间直角坐标系中，已知 $A (- 1 ， 2 ， - 3)$ ， $B (3 ， 0 ， - 5)$ ，那么线段 $A B$ 中点的坐标为（）

A、 $(1 ， 1 ， - 4)$ B、 $(- 1 ， - 1 ， 4)$ C、 $(2 ， 2 ， - 4)$ D、 $(2 ， 2 ， 4)$

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5. 函数 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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6. 如图，正方形 $A B C D$ 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自正方形内白色部分的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $1 - \frac{π}{8}$ C、 $\frac{π}{8}$ D、 $1 - \frac{π}{4}$

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7. 若两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 要得到函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只须将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ B、向右平移 $\frac{π}{3}$ C、向左平移 $\frac{π}{6}$ D、向右平移 $\frac{π}{6}$

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9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A、5 B、7 C、9 D、11

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10. 函数 $f (x) = \frac{\cos x}{x - \sin x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 供电部门对某社区1000位居民2020年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为 $[0 ， 10)$ ， $[10 ， 20)$ ， $[20 ， 30)$ ， $[30 ， 40)$ ， $[40 ， 50]$ 五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）

A、12月份人均用电量人数最多的一组有400人. B、12月份人均用电量不低于20度的有500人. C、12月份人均用电量为25度. D、在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在 $[30 ， 40)$ 一组的概率为 $\frac{1}{10}$ .

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12. 由直线 $x - y + 4 = 0$ 上的点向圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 引切线，则切线长的最小值为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} - 1$

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若向量 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 1)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ .

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14. 若角 $α$ 是第二象限的角，且 $\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\cos α =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A D$ 为 $B C$ 边上的高， $O$ 为 $A D$ 的中点，若 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{B C}$ ，其中 $λ$ ， $μ \in R$ ，则 $λ + μ$ 等于.

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ)$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ 的部分图象如图所示，且 $f (a) = f (b) = 0$ ，对不同的 $x_{1} ， x_{2} \in [a ， b]$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，有 $f (x_{1} + x_{2}) = \sqrt{3}$ ，则 $φ =$ .

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三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.

17. 已知向量 $\vec{a} = (x - 1 ， x + 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ .

(1)、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $| \vec{a} |$ ．

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18. 已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ， $\sin α = \frac{4}{5}$ ， $\cos (α + β) = \frac{5}{13}$ .

(1)、求 $\tan 2 α$ 的值；

(2)、求 $\cos β$ 的值．

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19. 新型冠状病毒肺炎疫情期间，某医院随着医疗工作的有序开展，治愈新冠肺炎的人数逐日增加.从3月1日至5日，5天内该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎人数 $y$ （人）与天数 $x$ （天）之间的关系如下表：

第 $x$ 天

1

2

3

4

5

人数 $y$ （人）

2

4

8

$m$

18

若在3月1日起的一段时间内，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎病人数 $y$ 与天数 $x$ 具有线性相关关系，且其线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 过定点 $(3 ， 9)$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 176$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55$ .

(1)、求 $m$ 的值和线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、预测该医院3月11日能否可以实现“单日治愈人数突破40人”的目标？
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ 为样本平均值.

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20. 长时间使用手机上网，会严重影响学生的身体健康.某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长（小时）作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.

(1)、分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；

(2)、从A班的样本数据中随机抽取一个小于21的数据记为 $a$ ，从B班的样本数据中随机抽取一个小于21的数据记为 $b$ ，求 $a > b$ 的概率.

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21. 已知 $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{π}{4} + \frac{x}{2}) - 1$ .

(1)、求函数 $g (x) = f (2 x - \frac{π}{3})$ 的递增区间；

(2)、是否存在实数 $k$ ，使得不等式 $f (2 x) + (k - 4) f (x) + (k - 4) f (x + \frac{π}{2}) < 3$ 对任意 $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 恒成立？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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22. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (2 ， 4)$ ，圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $x$ 轴的正半轴的交于点为 $Q$ ．

(1)、若过点 $P$ 的直线 $l$ 与圆 $O$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ．线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、设直线 $Q A$ ， $Q B$ 的斜率分别是 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} + k_{2}$ 为定值．

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第 $x$ 天	1	2	3	4	5
人数 $y$ （人）	2	4	8	$m$	18