山东省六校2020-2021学年高一上学期数学第二次阶段性联合考试A卷

试卷更新日期：2021-07-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{1 - x}{x} > 0}$ ，集合 $B = {x | y = \lg (2 x - 1)}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$

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2. $1130^{\circ}$ 角的终边落在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 命题“ $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x_{0} = x_{0} - 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x_{0} \neq x_{0} - 1$ B、 $\exists x_{0} \notin (0 ， + \infty)$ ， $\ln x_{0} = x_{0} - 1$ C、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x \neq x - 1$ D、 $\forall x \notin (0 ， + \infty)$ ， $\ln x \neq x - 1$

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4. 若 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $2^{a} = 3$ ， $b = \log_{2} 5$ ， $3^{c} = 2$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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5. 函数 $y = \frac{2 x^{3}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 在 $[- 6 ， 6]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 2018年5月至2019年春，在阿拉半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有 $N_{0}$ 只，则经过______天能达到最初的1600倍（参考数据： $\ln 1.05 \approx 0.0488$ ， $\ln 1.5 \approx 0.4055$ ， $\ln 1600 \approx 7.3778$ ， $\ln 16000 \approx 9.6803$ ）.

A、152 B、150 C、197 D、199

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7. 已知 $m$ ， $n$ ， $s$ ， $t$ 都是常数， $m < n$ ， $s < t$ .若 $f (x) = (x - m) (x - n) - 2020$ 的零点为 $s$ ， $t$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $m < s < t < n$ B、 $s < m < n < t$ C、 $m < s < n < t$ D、 $s < t < m < n$

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8. 设函数 $f (x) = x^{2} + \ln (| x | + 1)$ ，则使得 $f (x) > f (3 x - 1)$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$

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二、多选题

9. 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）

A、这11天复工指数和复产指数均逐日增加； B、这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量； C、第3天至第11天复工复产指数均超过80%； D、第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；

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10. 下列条件中，能使 $α$ 和 $β$ 的终边关于 $y$ 轴对称的是（）

A、 $α + β = 90 °$ B、 $α + β = 180 °$ C、 $α + β = k \cdot 360 ° + 90 ° (k \in Z)$ D、 $α + β = (2 k + 1) \cdot 180 ° (k \in Z)$

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11. 已知函数 $f (x) = {(\log_{3} x)}^{2} - \log_{3} x^{2} - 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (\frac{1}{9}) = 5$ B、函数 $y = f (x)$ 的最大值为4 C、函数 $y = f (x)$ 的最小值为-4 D、函数 $y = f (x)$ 的图象与x轴有两个交点

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 8 ， x \leq 1 \\ x + \frac{4}{x} + 2 a ， x > 1 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 的最小值为 $f (1)$ ，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、1 B、 $\frac{5}{4}$ C、2 D、4

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三、填空题

13. 已知扇形孤长为 $10 cm$ ，圆心角为 $\frac{5 π}{9}$ ，则该扇形的面积为 ${cm}^{2}$ .

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14. 函数 $y = f (x)$ 的图象与 $y = 2^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，则函数 $y = f (4 x - x^{2})$ 的递增区间是．

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15. 关于 $x$ 的方程 $a x^{2} - | x | + a = 0$ 有四个不同的实数解，则实数 $a$ 的取值范围为.

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16. 已知幂函数 $y = x^{n}$ 的图像过点 $(3 ， \frac{1}{9})$ ，则 $n =$ ，由此，请比较下列两个数的大小： ${(x^{2} - 2 x + 5)}^{n}$ ${(- 3)}^{n}$ .

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四、解答题

17. 在① $A \cap B = A$ ，② $A \cap B \neq \emptyset$ ，③ $B \subseteq C_{R} A$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.
问题：已知集合 $A = {x ∣ \frac{x - a}{x + 1} < 0 ， x \in R} ， B = {x ∣ \log_{2} (1 - x) \leq 1 ， x \in R}$ ，是否存在实数a，使得 ▲ ？

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18. 求值：

(1)、 $\sqrt[5]{\frac{1}{32}} + 8^{\frac{2}{3}} + {(\frac{1}{2})}^{0} + {(\frac{4}{9})}^{- \frac{1}{2}}$ ；

(2)、 $\log_{3} 54 - \log_{3} 2 + \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4$ .

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19. 已知二次函数 $f (x) = 2 x^{2} - 3 x$ .

(1)、若 $f (x) + t \geq 0$ 对于 $\forall x \in R$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围；

(2)、若 $g (x) = - f (x) + m x$ ，当 $x \in [1, 2]$ 时，若 $g (x)$ 的最大值为2，求 $m$ 的值.

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20. 某地因地制宜，大力发展“生态水果特色种植”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量 $S$ （单位：千克）与施用肥料 $x$ （单位：千克）满足如下关系： $S (x) = {\begin{array}{l} 6 (x^{2} + 3) ， 0 \leq x \leq 3 \\ \frac{100 x}{1 + x} ， 3 < x \leq 6 \end{array}$ ，肥料成本投入为 $22 x$ 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费） $50 x$ 元.已知这种水果的市场售价大约为18元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

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21. 已知函数 $f (x) = \lg (10^{x} - 1)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域和值域；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - \lg (10^{x} + 1)$ ，若关于 $x$ 的不等式 $g (x) < t$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{k x - 1}{x + 1}$ 为奇函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上的单调性；

(3)、若存在 $α$ ， $β \in (1 ， + \infty)$ 使得函数 $f (x)$ 在区间 $[α ， β]$ 上的值域为 $[\ln (m α - \frac{m}{2}) ， \ln (m β - \frac{m}{2})]$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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