广西桂林市2020-2021学年高二下学期理数期末质量检测试卷

试卷更新日期：2021-07-22 类型：期末考试

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. 函数 $f (x) = e^{x}$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、0 B、1 C、 $e$ D、 $\frac{1}{e}$

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2. 设复数 $z = 2 - i$ ，则 $z$ 的实部为（）

A、-1 B、2 C、-2 D、 $i$

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3. 用反证法证明“ $\sqrt{2}$ 是无理数”时，正确的假设是（）

A、 $\sqrt{2}$ 不是无理数 B、 $\sqrt{2}$ 是整数 C、 $\sqrt{2}$ 不是有理数 D、 $\sqrt{2}$ 是无理数

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4. 5个人排成一排照相，其中的甲乙两人要相邻，则有不同的排法种数为（）

A、24种 B、36种 C、48种 D、72种

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5. $1 + 3 x + 3 x^{2} + x^{3} =$ （）

A、 ${(x + 1)}^{3}$ B、 ${(x - 1)}^{3}$ C、 ${(x + 1)}^{4}$ D、 $x^{4}$

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6. 在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为 $2 ： 4 ： 3$ ，则第2组的频率是（）

A、0.4 B、0.3 C、0.2 D、0.1

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7. 向量 $\vec{a} = (2 ， 4 ， 5)$ ，向量 $\vec{b} = (1 ， 2 ， t)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、1 C、-2 D、 $- \frac{8}{5}$

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8. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件A为“取到的2个数之和为偶数”，记事件B为“取到的两个数均为偶数”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 若随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为（）

X

1

2

3

P

0.2

a

3a

A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.4

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10. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3 ， 1)$ ，且 $P (2 \leq X \leq 4) = 0.682$ ，则 $P (X > 4) =$ （）

A、0.0799 B、0.1587 C、0.3 D、0.3413

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12. 若函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x^{2} + 1$ 有两个不同的极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > \frac{e}{4}$ B、 $0 < a < \frac{e}{4}$ C、 $a < - \frac{e}{4}$ D、 $- \frac{e}{4} < a < 0$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 某校有学生4500人，其中高三学生1500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为．

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14. 已知 $i$ 为虚数单位，则 $(2 - 3 i) (i + 1) =$ ．

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15. $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x =$ .

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16. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ， $D$ 是斜边上一点，以 $A D$ 为棱折成二面角 $C - A D - B$ ，其大小为60°，则折后线段 $B C$ 的最小值为．

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三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 在 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，求

(1)、含 $x^{3}$ 的项；

(2)、展开式中的常数项．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - 9 x + 10 (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的图象在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、设 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的极小值．

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19. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ 在棱 $A A_{1}$ 上， $B E ⊥ E C_{1}$ ．

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面 $E B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $A E = A_{1} E$ ， $A D = 1$ ，求二面角 $B - E C - C_{1}$ 的余弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 n - a_{n}$ ．

(1)、计算 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ，并猜想 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、用数学归纳法证明（1）中的猜想．

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21. 在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ．两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．

(1)、求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；

(2)、若投篮命中一次得1分，否则得0分，用 $X$ 表示甲的总得分，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $h (x) = x f (x)$ ，且 $h (x)$ 仅有一个极值点 $x_{0}$ ，求实数 $a$ 的取值范围，并证明： $h (x_{0}) \geq - \frac{1}{e}$ ．

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X	1	2	3
P	0.2	a	3a