山东省新高考质量测评联盟2020-2021学年高一上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2021-07-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 2 ， 0 ， 2}$ ， $N = {x | | x | < 2}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${- 2 ， 0 ， 2}$ B、 ${0}$ C、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | x \leq 2}$

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2. 已知 $p ： \forall x < 2$ ， $3^{x} - 9 < 0$ ，那么 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x \geq 2$ ， $3^{x} - 9 \geq 0$ B、 $\forall x \leq 2$ ， $3^{x} - 9 > 0$ C、 $\forall x > 2$ ， $3^{x} - 9 > 0$ D、 $\exists x < 2$ ， $3^{x} - 9 \geq 0$

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3. 不等式 $6 + x - x^{2} < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2 ， 3)$ B、 $(- 3 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (2 ， + \infty)$

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4. 下列函数在区间 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $f (x) = - \frac{1}{x + 2}$ B、 $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ C、 $f (x) = - \log_{2} x$ D、 $f (x) = x^{2} - x + 1$

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5. 幂函数 $y = x^{- 1}$ 、 $y = x$ 、 $y = 1$ 以及 $x = 1$ 将平面直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ（如图所示），那么幂函数 $y = x^{- \frac{5}{4}}$ 的图像在第一象限中经过的“卦限”是（）

A、Ⅳ和Ⅶ B、Ⅳ和Ⅷ C、Ⅲ和Ⅶ D、Ⅲ和Ⅷ

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6. 某人的智能手机密码是一个六位数字，将前三位数组成的数与后三位数组成的数相加得741，将前两位数组成的数与后四位数组成的数相加得633，该密码对应的六位数是（）

A、201126 B、210612 C、110631 D、120621

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7. 若正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\log_{3} \sqrt{a} + \log_{3} \sqrt{b} = \log_{9} (a + b)$ ，则 $a + b$ 的最小值是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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8. 已知 $m$ ， $n$ 为正实数，且 $m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}} = 1$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $m^{n} \geq n^{m}$ B、 $m^{n} \leq n^{m}$ C、 $m^{m} + n^{n} < \frac{1}{2}$ D、 $m^{m} + n^{n} > \frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 已知实数 $a ， b ， c$ ，且 $a > b$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $2^{- a} < 2^{- b}$ B、 $a | c | > b | c |$ C、 $\log_{\frac{1}{2}} a < \log_{\frac{1}{2}} b$ D、 $\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ 在定义域上为减函数 B、“ $x^{2} \neq 1$ ”是“ $x \neq 1$ ”的充分不必要条件 C、幂函数 $y = x^{α}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数的一个充分条件是 $α > 1$ D、 $0 < n < m$ 是 $\log_{m} 2 < \log_{n} 2 < 0$ 的必要不充分条件

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11. 中国传统文化中有很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的数学之美.现给出定义：能够将圆 $O$ 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“和谐函数”，下列命题正确的是（）

A、对于任意一个圆 $O$ ，其“和谐函数”有无数个 B、函数 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 不是任意一个圆的“和谐函数” C、函数 $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ 可以是某个圆的“和谐函数” D、函数 $y = f (x)$ 是“和谐函数”的充要条件为函数 $y = f (x)$ 的图象是中心对称图形

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} - 1}{a^{x} + 1}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则下列结论正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ，等式 $f (- x) + f (x) = 0$ 恒成立 B、若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则一定有 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ C、 $\forall m \in [0 ， + \infty)$ ，方程 $| f (x) | = m$ 有两个不相等的实根 D、存在无数多个实数 $k$ ，使得函数 $g (x) = f (x) - k x$ 有三个零点

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{x}}$ 的定义域为.

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14. 方程 $4^{2 x} - 2 \times 4^{x} - 8 = 0$ 的解为.

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15. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，且有 $f (- 1) = 0$ ，则不等式 $(x - 2) \cdot f (- x) \leq 0$ 的解集为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 4 x + 1 ， x \leq 0 \\ | \log_{\frac{1}{3}} x | ， x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a$ 有四个不同的解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是， $x_{4} \cdot (x_{1} + x_{2}) + \frac{3}{x_{3} \cdot x_{4}^{2}}$ 的最大值是.

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四、解答题

17. 化简并求值：

(1)、 $\sqrt[4]{{(π - \frac{13}{4})}^{4}} + {(\frac{16}{49})}^{- \frac{1}{2}} + {(- 8)}^{\frac{2}{3}} + 8^{0.25} \times \sqrt[4]{2}$ ；

(2)、 $\lg \frac{4}{5} + \lg 12.5 - \log_{8} 9 \cdot \log_{27} 8 + e^{- \ln 2}$ .

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18. 已知 $A = {x | \frac{x - 3}{x + 2} \leq 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 < 0}$ .

(1)、求 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、已知函数 $f (x) = x^{2} - k x + 1$ ，从① $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq 0$ 成立，② $\exists x \in [1 ， 2]$ ，使得 $f (x) < 0$ 成立，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并完成解答.问题：记 $p ： k \in ∁_{R} (A \cup B)$ ，q： ▲ ，若 $p$ 为假， $q$ 为真，求实数 $k$ 的范围.（若选择两个条件分别解答，按照第一个解答计分）

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19. 函数 $f (x) = a \cdot 2^{x} + 2^{- x} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $y = f (x^{2} - 1)$ 的值域；

(2)、当 $x < 0$ 时，函数 $y = f (x) - 4$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. “凤眼蓝”是一种花朵为浅蓝色的浮水草本植物，它是我国园林水景中的常用造景材料，并且适宜在污染严重的水中生长，是监测环境污染的良好植物，某市2019年底为了净化某水库的水质，引人“凤眼蓝”，这些“凤眼蓝”在水中蔓延速度越来越快，2020年1月底“凤眼蓝”覆盖面积为 $16 m^{2}$ ，到了4月底测得“凤眼蓝”覆盖面积为 $54 m^{2}$ ，“凤眼蓝”覆盖面积 $y$ 单位： $m^{2}$ ）与月份 $x$ （单位：月）的关系有两个函数模型 $y = k a^{x}$ （ $k > 0$ 且 $a > 1$ ）与 $y = m x^{2} + n (m > 0)$ 可供选择.

(1)、分别求出两个函数模型的解析式；

(2)、经测得2020年5月底“凤眼蓝”的覆盖面积约为 $80 m^{2}$ ，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，并求“凤眼蓝”覆盖面积达到 $640 m^{2}$ 时的最小月份.（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30$ ， $\lg 3 \approx 0.48$ ）

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21. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数，且 $f (- 1) = 1$ ，若对任意的 $m ， n \in [- 1 ， 1]$ ， $m + n \neq 0$ ，都有 $(m + n) (f (m) + f (n)) < 0$ .

(1)、判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(2)、解不等式 $f (x + 1) + f (- 2 x - 1) < 0$ ；

(3)、若不等式 $f (x) \geq - 2 a t - 2$ 对于任意 $x ， a \in [- 1 ， 1]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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22. 已知 $f (x) = \ln (e^{x} + 1) - k x$ 是 $R$ 上的偶函数，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、设 $g (x) = e^{f (x) + \frac{x}{2}}$ ，求函数 $y = e^{2 x} + e^{- 2 x} - 2 λ (g (x) - g (- x)) (λ \in R)$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 的最小值；

(3)、已知 $h (x)$ 为 $g (x)$ 的反函数，设 $a > 0$ ，若对任意的 $b \in [\frac{1}{4} ， 1]$ ，当 $x_{1} ， x_{2} \in [b ， b + 1]$ ，不等式 $| h (\frac{1}{x_{1}} + a + 1) - h (\frac{1}{x_{2}} + a + 1) | \leq \ln 4$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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